[論文レビュー] Falling Factorials, Generating Functions, and Conjoint Ranking Tables

Brad Osgood, William Wu|ArXiv.org|Oct 18, 2008

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、降べきの多項式 $ (xy)^{\underline{k}} $ を積 $ x^{\underline{l}} y^{\underline{m}} $ の線形結合として表す際の係数 $ c^{(k)}_{l,m} $ を調査し、複数の閉形式表現、再帰関係、および共起順位表を用いた組合せ的解釈を導出する。主な貢献は、これらの結果を $ n \geq 2 $ 個の変数の積へ自然に拡張し、$ c^{(k)}_L $ が多変数順位表への有効な $ k $-ラベル付けを数えることである。

ABSTRACT

We investigate the coefficients generated by expressing the falling factorial $(xy)_k$ as a linear combination of falling factorial products $(x)_l (y)_m$ for $l,m =1,...,k$. Algebraic and combinatoric properties of these coefficients are discussed, including recurrence relations, closed-form formulae, relations with Stirling numbers, and a combinatorial characterization in terms of conjoint ranking tables.

研究の動機と目的

• 展開 $ (xy)^{\underline{k}} = \sum_{l,m=1}^k c^{(k)}_{l,m} x^{\underline{l}} y^{\underline{m}} $ における係数 $ c^{(k)}_{l,m} $ を特徴づける。
• Stirling数の第一種および第二種と関連づけることにより、$ c^{(k)}_{l,m} $ に対する複数の閉形式表現および再帰関係を導出する。
• $ k $ 個の異なるラベルを用いた共起順位表を用いて、$ c^{(k)}_{l,m} $ の組合せ的解釈を提供する。
• フレームワークを $ n \geq 2 $ 個の変数の積へ拡張し、係数構造および組合せ的モデルを一般化する。
• $ c^{(k)}_L $ の非負性および構造的条件（たとえば $ \prod l_i < k $ のとき $ c^{(k)}_L = 0 $）を確立する。

提案手法

• 母関数を用いて降べき多項式、通常のべき乗、Stirling数の間の関係を活用して展開を導出する。
• 恒等式 $ x^{\underline{k}} = \sum_{l=1}^k (-1)^{k-l} \left[\begin{smallmatrix}k\\l\end{smallmatrix}\right] x^l $ および $ x^k = \sum_{l=1}^k \left\{\begin{smallmatrix}k\\l\end{smallmatrix}\right\} x^{\underline{l}} $ を用い、$ (xy)^{\underline{k}} $ を $ x^{\underline{l}} y^{\underline{m}} $ の形に表現する。
• 前進差分作用素および多重指数記法の性質を用いて、$ c^{(k)}_{l,m} $ に対する再帰関係を導出する。
• 各属性に $ l_i $ 個の選択肢がある共起順位表の概念を導入し、$ L! \cdot c^{(k)}_L $ が各属性が少なくとも1回の順位に現れるように $ k $ 個の異なるラベルをセルに割り当てる方法の数を表すことを示す。
• 包含除算法則を高次元へ拡張し、$ \Phi(L,M) $（次元 $ i $ で $ m_i $ 個のスライスをゼロ化した後の非ゼロセル数）を含む式を導出する。
• 行列の逆行列を用いた代替的な公式を提示し、$ c^{(k)}_L $ を多重指数 $ r_i $ における符号付き和として、二項係数および $ \prod r_i $ の積を含む形で表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 降べき多項式 $ (xy)^{\underline{k}} $ はどのように積 $ x^{\underline{l}} y^{\underline{m}} $ の線形結合として表され、係数 $ c^{(k)}_{l,m} $ の代数的性質は何か？
• RQ2 係数 $ c^{(k)}_{l,m} $ の組合せ的解釈は何か？ そしてこれは $ n $ 個の変数へどのように一般化されるか？
• RQ3 $ c^{(k)}_{l,m} $ に対して閉形式表現および再帰関係を導出できるか？ また、それらはStirling数とどのように関係するか？
• RQ4 $ c^{(k)}_L $ の非負性を保証する条件は何か？ また、いつ $ c^{(k)}_L = 0 $ となるか？
• RQ5 母関数と包含除算法の両アプローチは、係数の公式を導出する際にどのように統合されたり、異なったりするか？

主な発見

• 係数 $ c^{(k)}_{l,m} $ は対称的である：$ c^{(k)}_{l,m} = c^{(k)}_{m,l} $ であり、非負整数であり、$ k \geq 2 $ のとき $ l = m = 1 $ ならば $ c^{(k)}_{l,m} = 0 $ である。
• $ k = 3 $ のとき、展開は $ (xy)^{\underline{3}} = x^{\underline{1}}y^{\underline{3}} + x^{\underline{3}}y^{\underline{1}} + 6x^{\underline{2}}y^{\underline{2}} + 3x^{\underline{2}}y^{\underline{3}} + 3x^{\underline{3}}y^{\underline{2}} + x^{\underline{3}}y^{\underline{3}} $ を与え、$ l,m \geq 2 $ のとき非ゼロ係数を持つことを示している。
• $ c^{(9)}_{l,m} $ の行列は対称的であり、正の整数を含んでおり、$ c^{(9)}_{1,1} = 1 $、$ c^{(9)}_{1,2} = 255 $、$ c^{(9)}_{9,9} = 1 $ である。これは組合せ的モデルの妥当性を確認している。
• 公式 $ c^{(k)}_L = \sum_{p=1}^k (-1)^{k-p} \left[\begin{smallmatrix}k\\p\end{smallmatrix}\right] \prod_{i=1}^n \left\{\begin{smallmatrix}p\\l_i\end{smallmatrix}\right\} $ は、Stirling数を用いた閉形式表現を提供する。
• $ L! \cdot c^{(k)}_L $ が、各属性が順位に少なくとも1回現れるように $ k $ 個の異なるラベルを $ l_1 \times \cdots \times l_n $ の共起順位表に埋める方法の数に等しいことを示した。
• 包含除算法の公式 $ c^{(k)}_L = \frac{k!}{L!} \sum_{h=0}^{\|L\|} (-1)^h \sum_{\|M\|=h} \binom{\Phi(L,M)}{k} \prod_{j=1}^n \binom{l_j}{m_j} $ は、有効なラベル付けの組合せ的数え上げを提供する。ここで $ \Phi(L,M) $ は、次元 $ i $ で $ m_i $ 個のスライスをゼロ化した後の残存セル数を数える。