[論文レビュー] Faltings heights of big CM cycles and derivatives of L-functions

Jan Hendrik Bruinier, Stephen S. Kudla+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 32被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、符号 (2d,2) の二次形式空間に関連する正規型のシュバリ・多様体上の「大きな」CM サイクルのファルツィングス高さの公式を、調和的弱マース形式の正則化されたシータ・リフトを用いて確立する。この公式は、非一様イーゼンスタイン級数の中心導関数とランキン・セルバーグ L 関数を、自己同型グリーン関数の CM 値に関連づけ、グロス・ザイジャーの公式を「大きな」CM サイクルへ一般化し、CM アーベル・サーフェスに関するコルツェの予想の特別な場合を検証する。

ABSTRACT

We give a formula for the values of automorphic Green functions on the special rational 0-cycles (big CM points) attached to certain maximal tori in the Shimura varieties associated to rational quadratic spaces of signature (2d,2). Our approach depends on the fact that the Green functions in question are constructed as regularized theta lifts of harmonic weak Mass forms, and it involves the Siegel-Weil formula and the central derivatives of incoherent Eisenstein series for totally real fields. In the case of a weakly holomorphic form, the formula is an explicit combination of quantities obtained from the Fourier coefficients of the central derivative of the incoherent Eisenstein series. In the case of a general harmonic weak Maass form, there is an additional term given by the central derivative of a Rankin-Selberg type convolution.

研究の動機と目的

• 符号 (2d,2) のシュバリ・多様体に関連する最大トーラスに付随する「大きな」CM サイクルへのグロス・ザイジャー因数分解公式の拡張。
• 正則化されたシータ・リフトを通じて、ファルツィングス高さと L 関数の中心導関数との直接的な関係を確立。
• 調和的弱マース形式を用いて、小規模な CM サイクル（虚二次体）の結果を、大規模な CM サイクル（次数 d+1 の完全実体）へ一般化。
• 算術的交線理論を用いて、Conjecture 5.5 と CM アーベル・サーフェスに関するコルツェの予想の特別な場合を検証。

提案手法

• 調和的弱マース形式の正則化されたシータ・リフトを用いて、シュバリ・多様体上での自己同型グリーン関数を構成。
• 完全実体の非一様イーゼンスタイン級数の中心導関数とシーゲル＝ヴァイ公式を適用し、グリーン関数値と L 関数の導関数との関係を確立。
• 弱正則形式の場合、CM 値は非一様イーゼンスタイン級数の中心導関数のフーリエ係数の線形結合として表現される。
• 一般の調和的弱マース形式の場合、ランキン・セルバーグ型の畳み込みの中心導関数に起因する追加項が生じる。
• ペトリソン計量の正規化を用いて、グリーン関数値に基づき、CM サイクルのファルツィングス高さを定義。
• トーラス的コンパクト化上の算術的交線理論とファルツィングス高さを組み合わせ、CM サイクルの交線に対する明示的公式を導出。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 符号 (2d,2) のシュバリ・多様体上での、大きな CM サイクルのファルツィングス高さは、どのように L 関数の導関数で表現できるか？
• RQ2 小規模な CM サイクルに用いられた正則化されたシータ・リフト法を、最大トーラスに付随する大きな CM サイクルへ拡張可能か？
• RQ3 非一様イーゼンスタイン級数の中心導関数と自己同型グリーン関数の CM 値との間の明確な算術的関係は何か？
• RQ4 大きな CM サイクルの公式は、特殊な場合にグロス・ザイジャーおよびコルツェの予想を回復または一般化するか？
• RQ5 非一様イーゼンスタイン級数の中心導関数のフーリエ係数は、CM サイクルのファルツィングス高さとどのように関係するか？

主な発見

• 大きな CM サイクルのファルツィングス高さは、非一様イーゼンスタイン級数の中心導関数とランキン・セルバーグ畳み込み項を含む公式で与えられる。
• 弱正則形式の場合、CM 値は非一様イーゼンスタイン級数の中心導関数のフーリエ係数の線形結合であり、L 関数の中心導関数によってスケーリングされる。
• CM 領域が四次的で、素数判別式 D ≡ 1 mod 4 かつ平方自由な $ ilde{D}$ を持つ場合、定数 $c'(E) = 1$ となり、公式は既知の結果と一致する。
• 公式は [BY1, Theorem 1.4] を多重性要因を除いて回復し、ヒルベルト・モジュラー・サーフェスに関する先行研究と整合性を確認する。
• 実乗法付きアーベル・サーフェスのモジュライ空間のコンパクト化上での算術的交線ペアリングは、$c^+(0)$ と標準的 L 関数の導関数を含む明確な表現を与える。
• 結果として、Conjecture 5.5 の特別な場合が検証され、[HY] および Theorem 6.8 の精錬を通じて、CM アーベル・サーフェスにおけるコルツェ予想の完全な解決への支援が得られる。