[論文レビュー] Families index for Boutet de Monvel operators

Severino T. Melo, Elmar Schrohe+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 20被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、コンpactな境界付き多様体上の連続的家族の楕円的 Boutet de Monvel作用素について、C*-代数K理論とAtiyah-Singerの家族版指標定理を用いて、解析的指標と位相的指標の等価性を確立する。主な結果は、2つの指標が一致することであり、これは内部の余接 bundle のコンパクトな台付きK理論における位相的指標クラスの自然な構成を介して、Boutet de Monvelの指標理論を家族設定に拡張するものである。

ABSTRACT

We define the analytical and the topological indices for continuous families of operators in the C*-closure of the Boutet de Monvel algebra. Using techniques of C*-algebra K-theory and the Atiyah-Singer theorem for families of elliptic operators on a closed manifold, we prove that these two indices coincide.

研究の動機と目的

• コンパクトなハウスドルフ空間 Y によってパrameter化された作用素の連続的家族に対して、境界値問題のためのBoutet de Monvelの指標理論を拡張すること。
• C*-代数の文脈において、このような家族の解析的指標と位相的指標を定義し、それらを研究すること。
• K理論とAtiyahとSingerの家族指標定理の道具を用いて、これら2つの指標が等しいことを確立すること。
• ファイバーごとの記号写像と部分代数の同型を用いて、多様体の内部上の余接 bundle のコンパクトな台付きK理論に位相的指標クラスを構成すること。
• Boutet de Monvel作用素の家族の指標が、その関連する二重化の指標に等しいことを示し、問題を古典的家族指標定理に還元すること。

提案手法

• コンパクトなハウスドルフ空間 Y 上のC*-代数バンドルの連続的切断としてBoutet de Monvel作用素の家族を定義し、単一作用素の場合の一般化を行う。
• ファイバーごとの境界記号写像 γ を導入し、K がコンパクト作用素値をとる家族のイデアルであるとき、商代数 A/K を定義する。
• K*(A†/K) ≅ K*(A/K) が成り立つような部分代数 A† ⊂ A を構成し、これにより古典的ベクトル bundle K理論への接続を可能にする。
• K*(A†/K) ≅ K*(A/K) の同型を用いて、可換な商代数への古典的位相的指標構成を、全家族代数へと持ち上げる。
• 各楕円的家族 A に対して K*(A/K) に属するクラスを関連付け、その後、古典的位相的指標写像を適用して位相的指標 ind_t(A) を定義する。
• A をその二重化に結びつけることで、同じ解析的指標と位相的指標を有する閉多様体上の家族が得られることを示し、これにより解析的指標 ind_a(A) ∈ K(Y) と位相的指標 ind_t(A) が等しいことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C*-代数K理論とAtiyah-Singerの家族指標定理と整合するように、楕円的Boutet de Monvel作用素の家族のための位相的指標を定義することは可能か？
• RQ2 連続的家族のBoutet de Monvel作用素の解析的指標と位相的指標をどのように比較し、それらが等しいことを示せるか？
• RQ3 部分代数 A† は、商代数 A/K のK理論を古典的ベクトル bundle のK理論に結びつける上で果たす役割は何か？
• RQ4 境界付き多様体に制限した場合、Boutet de Monvel作用素の家族に対する位相的指標構成は、古典的家族指標定理と同値か？
• RQ5 Boutet de Monvel作用素の家族の指標を、多様体の二重化に関連する家族の指標に還元することは可能か？ その際、解析的指標と位相的指標の両方が保存されるか？

主な発見

• 連続的家族の楕円的Boutet de Monvel作用素に対して、解析的指標 ind_a(A) ∈ K(Y) は、Atiyah と Jänich に従って適切に定義される。
• 位相的指標 ind_t(A) は、K*(A†/K) に属するクラスを介して構成され、これは K*(A/K) に同型であるため、古典的K理論を用いた位相的記述が可能になる。
• 位相的指標は、K*(A†/K) に属するクラスに古典的位相的指標写像を適用することで定義され、これは多様体の内部上の余接 bundle のK理論に同型である。
• 2つの指標、すなわち解析的指標と位相的指標は、ind_a(A) = ind_t(A) として等しいことが証明され、Boutet de Monvelの指標定理が家族設定に拡張される。
• この等価性は、元の家族 A をその二重化に結びつけることで確立され、同じ解析的指標と位相的指標を有する閉多様体上の家族が得られる。
• この結果は、境界問題のための新しい指標定理を必要とせず、古典的家族指標定理が指標の等価性を証明するのに十分であることを示唆する。