[論文レビュー] Families of complex Hadamard matrices

Nuno Barros e Sá, Ingemar Bengtsson|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2012

graph theory and CDMA systems参考文献 24被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、フーリエ行列の周囲における滑らかな複素ヘルミート行列の族の次元を、べき級数摂動法を用いて調査する。非素数べき次元では、1次欠損（線形欠損）が真の次元を過大評価することが示され、特にN=12では、2つの13次元族が交わって9次元のアフィン族を形成する13次元の解空間が得られ、線形欠損17とは矛盾する。

ABSTRACT

What is the dimension of a smooth family of complex Hadamard matrices including the Fourier matrix? We address this problem with a power series expansion. Studying all dimensions up to 100 we find that the first order result is misleading unless the dimension is 6, or a power of a prime. In general the answer depends critically on the prime number decomposition of the dimension. Our results suggest that a general theory is possible. We discuss the case of dimension 12 in detail, and argue that the solution consists of two 13-dimensional families intersecting in a previously known 9-dimensional family. A precise conjecture for all dimensions equal to a prime times another prime squared is formulated.

研究の動機と目的

• フーリエ行列を通過する滑らかな複素ヘルミート行列族の真の次元を特定すること、特に1次欠損が誤解を招く場合に焦点を当てる。
• フーリエ行列の周囲でべき級数展開を行う際、ユニタリティ制約を段階的に解くための体系的な摂動法を開発すること。
• 次元Nの素因数分解が、解族の構造と次元に与える影響を理解すること。
• 非素数べき次元における線形欠損と実際の解族次元の乖離を解明すること。
• N=12の詳細な解析に基づき、N = p × q²（p, qは素数）の一般的予想を提示すること。

提案手法

• 複素ヘルミート行列の行列要素を、フーリエ行列の周囲で小さなパラメータのべき級数として展開し、要素を ω^{ij}e^{iτ_{ij}} の形に表す。
• τ_{ij} における摂動展開を用い、ユニタリティ条件を段階的に解き、各段階を一階線形系とし、整合性条件を満たす。
• 自明な2N−1個のグローバル位相パラメータを除去するための位相固定手続きを適用し、残りの欠損パラメータに注目する。
• n次摂動における欠損次元を、n次での解空間の次元として定義し、1次線形欠損を一般化する。
• 代数幾何学的手法と整合性条件を用い、高次解が低次パラメータに制約を課す状況を検出する。
• パラメータ化による解空間構造の解析を行い、特にN=12において既知の族と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ非素数べき次元では、1次線形欠損が滑らかな複素ヘルミート行列族の真の次元を過大評価するのか？
• RQ2 N=12におけるフーリエ行列を通過する滑らかな解空間の実際の次元は何か？その構造はいかなるものか？
• RQ3 次元Nの素因数分解が、滑らかな複素ヘルミート行列族の存在と次元にどのように影響するか？
• RQ4 Nが3つの素数の積で、そのうち2つが等しい場合に、解族構造の一般理論を構築可能か？
• RQ5 N=6における4次元族が滑らかで、フーリエ行列を含むと数値的に示唆されているが、これは正しいか？

主な発見

• N=12では、フーリエ行列を通過する位相固定済み複素ヘルミート行列の滑らかな族の真の次元は13であり、線形欠損17とは異なる。
• N=12の13次元解空間は、2つの13次元族が交わって形成されており、その交わりは既に知られていた9次元のアフィン族である。
• N < 101 で素数べきでもN=6でもないすべてのNにおいて、1次欠損は誤解を招く。真の次元は線形欠損より厳密に小さい。
• N=6では、4次元族が存在し、フーリエ行列を含むことが確認され、100次までの摂動展開が滑らかさを支持する。
• N = p × q²（p, qは素数）の次元に対して、正確な予想が提示され、類似した構造の交わる族が存在し、次元は素因数分解によって決定される。
• 摂動法により、高次整合性条件が低次パラメータを制約することが判明し、これが線形欠損が真の次元を過大評価する理由を説明する。