[論文レビュー] Families of genus two curves with many elliptic subcovers

Tony Shaska|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、複素数体ℂ上での種数2曲線を、次数2および次数3の楕円曲線部分被覆を両方有するものとして分類し、その分岐集合が3つの既約な1次元種数0成分を持つことを証明する。本論文は、このような曲線およびその部分被覆のための明示的な有理パラメータ表示を提供し、すべての部分被覆がℚ上に定義された有理数体上の曲線が有限個であることを示している。

ABSTRACT

We determine all genus 2 curves, defined over $\mathbb C$, which have simultaneously degree 2 and 3 elliptic subcovers. The locus of such curves has three irreducible 1-dimensional genus zero components in $\mathcal M_2$. For each component we find a rational parametrization and construct the equation of the corresponding genus 2 curve and its elliptic subcovers in terms of the parameterization. Such families of genus 2 curves are determined for the first time. Furthermore, we prove that there are only finitely many genus 2 curves (up to $\mathbb C$-isomorphism) defined over $\mathbb Q$, which have degree 2 and 3 elliptic subcovers also defined over $\mathbb Q$.

研究の動機と目的

• 複素数体ℂ上での種数2曲線で、次数2および次数3の楕円曲線部分被覆を両方有するものをすべて特定すること。
• モジュライ空間𝒜₂におけるこのような曲線の分類を行い、locus 𝒟₂ ∩ 𝒟₃の既約成分を同定すること。
• これらの族に対する明示的な有理パラメータ表示を構成し、種数2曲線およびその部分被覆の式を導出すること。
• すべての部分被覆がℚ上に定義された有理数体上の種数2曲線が有限個であることを証明すること。
• 実際の応用においてこのような曲線を同定するための計算ツールおよび不変量を提供すること。

提案手法

• モジュライ空間𝒜₂におけるlocus 𝒟₂ ∩ 𝒟₃の3つの既約な1次元成分を、有理関数を用いてパラメータ表示すること。
• パrameter tを用いて、各族における種数2曲線の明示的な多項式方程式を導出する。係数はすべてtの関数として表される。
• 次数2および次数3の楕円曲線部分被覆のj-不変量を、tに関する二次および三次の類似式の根として計算する。
• IgusaおよびShiodaの不変量を用いてモジュライ点を計算し、曲線およびその部分被覆の有理性を検証する。
• Faltingsの定理を、成分ごとに種数13、13、または23である高種数の曲線z² = g(s₁,s₂)に適用し、ℚ上での有限性を証明する。
• genus2 Mapleパッケージを用いて計算的チェックを実施し、部分被覆の存在および不変量の有理性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素数体ℂ上での種数2曲線で、次数2および次数3の楕円曲線部分被覆を両方有するものについて、そのlocusに存在する既約な1次元成分はいくつあるか？
• RQ2 このような種数2曲線およびその楕円曲線部分被覆に対して、明示的な有理パラメータ表示を構成できるか？
• RQ3 種数2曲線の明示的な方程式およびそのj-不変量は、パrameter tを用いてどのように表されるか？
• RQ4 すべての部分被覆がℚ上に定義された有理数体上の種数2曲線は、有限個であるか？
• RQ5 このような曲線およびその部分被覆を特徴付ける不変量（Igusa、Shioda、j-不変量）は何か？

主な発見

• 種数2曲線で、次数2および次数3の楕円曲線部分被覆を両方有するlocusは、モジュライ空間𝒜₂において、正確に3つの既約な1次元種数0成分を持つ。
• 3つの成分それぞれについて、パrameter tを用いた有理パラメータ表示が構成され、種数2曲線の明示的な方程式が得られる。
• 次数2の楕円曲線部分被覆のj-不変量は、係数c₀およびc₁がtに関して有理関数として表される二次方程式の根として与えられる。
• 次数3の部分被覆のj-不変量は、tの有理関数として明示的に与えられ、1つの族では同型な部分被覆を持つ。
• 3番目の族における種数2曲線の方程式は、tの有理関数を係数とする2つの3次多項式の積として表現される。
• Faltingsの定理を、成分ごとに種数13、13、または23である高種数の曲線z² = g(s₁,s₂)に適用することで、すべての部分被覆がℚ上に定義された有理数体上の種数2曲線が有限個であることを証明した。