[論文レビュー] Families of Hadamard Z2Z4Q8-codes

Ángel del Rı́o, Josep Rifà|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2012

Coding theory and cryptography参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、群環 ℤ₂ℤ₄𝒬₈ 上の新しいハダマード符号のクラスを導入し、特徴づけ、任意の ℤ₂ℤ₄線形符号に同値でない「純粋な」ℤ₂ℤ₄𝒬₈符号の存在を示している。このような符号のランクおよびカーネル次元に関する境界を確立し、グレイ写像およびクロネッカー積を用いた構成法を提示し、長さ32の非ℤ₂ℤ₄線形ハダマード符号および形状4の符号といった具体的な例を特定することで、従来の線形モデルをはるかに超えるこの符号族の豊かさを示している。

ABSTRACT

A Z2Z4Q8-code is a non-empty subgroup of a direct product of copies of Z_2, Z_4 and Q_8 (the binary field, the ring of integers modulo 4 and the quaternion group on eight elements, respectively). Such Z2Z4Q8-codes are translation invariant propelinear codes as the well known Z_4-linear or Z_2Z_4-linear codes. In the current paper, we show that there exist "pure" Z2Z4Q8-codes, that is, codes that do not admit any abelian translation invariant propelinear structure. We study the dimension of the kernel and rank of the Z2Z4Q8-codes, and we give upper and lower bounds for these parameters. We give tools to construct a new class of Hadamard codes formed by several families of Z2Z4Q8-codes; we study and show the different shapes of such a codes and we improve the upper and lower bounds for the rank and the dimension of the kernel when the codes are Hadamard.

研究の動機と目的

• ハーディッド・クォaternion群 𝒬₈ を用いた ℤ₂ℤ₄線形符号の一般化である ℤ₂ℤ₄𝒬₈符号の構造的性質を調査すること。
• 任意の ℤ₂ℤ₄線形符号に同値でない符号、すなわち「純粋な」ℤ₂ℤ₄𝒬₈符号が存在するかどうかを特定し、その存在を立証すること。
• 特にハダマール符号の文脈において、これらの符号のランクおよびカーネル次元を分析すること。
• グレイ写像およびクロネッカー積を用いて、無限系列のハダマール ℤ₂ℤ₄𝒬₈符号を構成し、既知の構成法を拡張すること。
• ハダマール ℤ₂ℤ₄𝒬₈符号の可能な群構造および形状を分類し、その不変量に関する境界を改善すること。

提案手法

• 本稿では、ℤ₂ᵏ¹ × ℤ₄ᵏ² × 𝒬₈ᵏ³ の部分群として ℤ₂ℤ₄𝒬₈符号を定義し、群構造を活用して平行移動不変な線形符号の一般化を定式化している。
• グレイ写像 Φ を用いて ℤ₂ℤ₄𝒬₈符号を二進符号に変換し、ハミング距離を保存することで、その二進像の性質を解析可能にする。
• クロネッカー積構成法 𝒦_g を用いて、既存の符号から新しい符号を生成し、特に符号長の増加および新しい形状の探索に用いている。
• 群論的道具を用いて符号群の構造を解析し、生成子によって生成される群に属する新たな要素を検出するためのスワッパーの利用も行っている。
• 符号の群構造を分類するための「形状」の概念を導入し、5つの可能な形状を特定している。
• ℤ₂、ℤ₄、𝒬₈ 上の生成子を用いて具体的な例を構成し、グレイ写像による検証を通じて、その二進像が所望のパラメータを持つハダマール符号であることを確認している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の ℤ₂ℤ₄線形符号に同値でない ℤ₂ℤ₄𝒬₈符号、すなわち「純粋な」ℤ₂ℤ₄𝒬₈符号が存在するか？
• RQ2 特にハダマール符号において、ℤ₂ℤ₄𝒬₈符号のランクおよびカーネル次元のきめの細かい上界および下界は何か？
• RQ3 ℤ₂ℤ₄𝒬₈符号のすべての可能な形状を実現可能か？もし可能であれば、どのように構成できるか？
• RQ4 長さ16または32のハダマール符号で、ℤ₂ℤ₄線形ではないが、ℤ₂ℤ₄𝒬₈符号として実現可能なものは存在するか？
• RQ5 与えられた形状のハダマール ℤ₂ℤ₄𝒬₈符号の最大ランクは何か？また、このような符号を明示的に構成可能か？

主な発見

• 本稿は、任意の ℤ₂ℤ₄線形符号に同値でない「純粋な」ℤ₂ℤ₄𝒬₈符号の例として、初めて知られる符号を構成し、その存在を証明した。
• 長さ32、タイプ (3,0,3)、形状3、ランク7、カーネル次元4のハダマール符号を ℤ₂ℤ₄𝒬₈符号として構成したが、これは ℤ₂ℤ₄線形符号ではない。
• 基本符号のクロネッカー積を用いて、長さ64、タイプ (3,0,4)、形状2、ランク8、カーネル次元3の新しいハダマール符号を構成した。
• 本稿は、ハダマール ℤ₂ℤ₄𝒬₈符号の可能な群構造を完全に分類し、5つの異なる形状を特定した。形状1〜5について、明示的な構成法を提示した。
• 形状4の符号を、ℤ₂⁴ × 𝒬₈ 上の生成子を用いて明示的に構成した。また、クロネッカー構成法の変種を用いることで、ランク6の非線形符号を生成し、この形状の最大ランクを示した。
• ハダマール ℤ₂ℤ₄𝒬₈符号のランクおよびカーネル次元に関する上界および下界を改善し、一般の ℤ₂ℤ₄𝒬₈符号よりもきめの細かい境界であることを示した。