[論文レビュー] Families of LDPC Codes Derived from Nonprimitive BCH Codes and Cyclotomic Cosets

Salah A. Aly|ArXiv.org|Feb 27, 2008

Error Correcting Code Techniques参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、非原始的幅帯限定BCH符号および巡回的コセットから導出される2つの族の正則LDPC符号—タイプIおよびタイプII—を提案する。巡回的コセットの代数的構造を活用し、スパースなパリティーチェック行列を構築することで、符号は高いレートを達成し、4サイクルを回避し、次元、最小距離の下界、および停止距離を正確に計算可能となる。量子誤り訂正および反復復号化への応用が可能である。

ABSTRACT

Low-density parity check (LDPC) codes are an important class of codes with many applications. Two algebraic methods for constructing regular LDPC codes are derived -- one based on nonprimitive narrow-sense BCH codes and the other directly based on cyclotomic cosets. The constructed codes have high rates and are free of cycles of length four; consequently, they can be decoded using standard iterative decoding algorithms. The exact dimension and bounds for the minimum distance and stopping distance are derived. These constructed codes can be used to derive quantum error-correcting codes.

研究の動機と目的

• 非原始的BCH符号および巡回的コセットを用いて、高いレートで4サイクルのない正則LDPC符号を構築すること。
• 構築されたLDPC符号の正確な次元、最小距離の下界、および停止距離を導出すること。
• 効率的な復号および量子符号の導出を可能にする均一な代数的構造を持つLDPC符号の体系的構築を可能にすること。
• 自己直交性を介して古典的LDPC-BCH符号から量子誤り訂正符号を生成するフレームワークを提供すること。
• ランダムまたはヒューリスティック手法ではなく、構造的で代数的な設計によって、既存のLDPC符号よりも性能を向上させること。

提案手法

• 長さ $n = q^m - 1$ の $\mathbb{F}_q$ 上の非原始的幅帯限定BCH符号を用い、$\gcd(n, q) = 1$ かつ $m = \operatorname{ord}_n(q)$ を満たす。
• 要素 $\mathbb{F}_{q^m}^*$ を表すための位置ベクトル $\mathbf{z}(\alpha^i)$ を $\mathbb{F}_2^\mu$ に定義する。ここで $\mu = q^m - 1$ である。
• 異なる巡回的コセット $C_x$ から導出される部分行列 $H_{C_x}^j$ を用いて、ブロック行列としてパリティーチェック行列 $H$ を構築する。
• 各部分行列 $H_{C_x}^j$ が $\alpha^i$ の特性ベクトルの巡回シフトに対応し、準巡回構造を形成することを保証する。
• タイプIおよびタイプIIの構成を適用して、均一な列および行重みを持つ正則LDPC符号を生成する。
• 代数的構造を活用して正確な次元を計算し、最小距離および停止距離の下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非原始的BCH符号を体系的に、高いレートで4サイクルのない正則LDPC符号に変換できるか？
• RQ2 非原始的BCH符号の巡回的コセットから構築されたLDPC符号の正確な次元および最小距離の下界は何か？
• RQ3 パリティーチェック行列の代数的構造を用いて停止距離をどのように下界で評価できるか？
• RQ4 これらのLDPC符号を用いて、量子誤り訂正に適した自己直交符号を構築できるか？
• RQ5 これらの代数的構造を持つLDPC符号の性能は、反復復号化において既存の構成と比較してどのように異なるか？

主な発見

• 構築されたタイプIおよびタイプIIのLDPC符号は高いレートを達成しており、特にタイプII符号は $\ell$ 個の巡回的コセットを用いる場合、レート $(\ell - 1)/\ell$ を達成する。
• 符号は4サイクルを含まず、反復復号化の性能を向上させるとともに、誤りフロアの問題を回避する。
• 構築に使用した巡回的コセットの数および構造から、符号の正確な次元が計算可能である。
• タイプII符号の停止距離の下界は $\ell + 1$ であり、重複のない列のサポートを数えることでさらに向上が可能である。
• シミュレーション結果では、(4,31)タイプIのLDPC符号（レート $27/31$）は、BER $10^{-4}$ で $5.5$ dB Eb/No を達成し、シャノン限界から $1.7$ dB の差である。
• 自己直交性またはLDPC-BCH符号のネスト構造を介して、対称的および非対称的量子誤り訂正符号を導出可能である。