[論文レビュー] Families of N=2 field theories

Davide Gaiotto|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、4次元N=2超共形場理論（SCFT）を、ラグランジュアン場理論、6次元(2,0)理論をコンパクト化したクラスS理論、およびカーブィ・ヤウコンパクト化を用いた幾何的エンジニアリングの3つの主要な構成法を通じてレビューする。これらのフレームワークの間には深い関係が存在し、多くのN=2理論が複数のUV完備化として実現可能であることが示され、クラスS理論と幾何的エンジニアリングは、中央電荷やBPSスピン配置図などの保護された量を計算する強力なツールを提供する。

ABSTRACT

This is the first article in the collection of reviews "Exact results on N=2 supersymmetric gauge theories", ed. J. Teschner. It describes how large families of field theories with N=2 supersymmetry can be described by means of Lagrangian formulations, or by compactification from the six-dimensional theory with (2,0) supersymmetry on spaces of the form $M^4 imes C$, with C being a Riemann surface. The class of theories that can be obtained in this way is called class $\cal S$. This description allows us to relate key aspects of the four-dimensional physics of class $\cal S$ theories to geometric structures on C.

研究の動機と目的

• ラグランジュアン、クラスS、幾何的エンジニアリングの3つの異なるUV構成法を用いて、4次元N=2量子場理論を統一的に概説すること。
• 特にラグランジュアン理論がどのようにクラスS理論およびカービィ・ヤウ幾何に埋め込まれるかを明らかにし、これらの構成法の相互作用と重複を明確にすること。
• 非ラグランジュアン記述、特にクラスS理論および弦理論的構成法の利点を強調し、超対称性に保護された量を計算する上で有効であることを示すこと。
• リーマン面への正則および不規則な穴（punctures）を用いたN=2 SCFTの分類を体系化し、カービィ・ヤウ多様体におけるADE特異性とその関係を明らかにすること。
• クラスS理論における正確に余剰な結合定数の空間が、リーマン面Cの複素構造のモジュライ空間と一致することを示し、E型およびD型理論へその拡張を行うこと。

提案手法

• ゲージ群と擬実表現における場を用いてN=2ラグランジュアン理論を構成し、N=2超対称性によって固定される超ポテンシャルと、複素化されたゲージ結合定数および質量パラメータで与えられるパrametersを導入する。
• リーマン面Cに穴（punctures）をもたせた6次元(2,0)理論のねじれコンパクト化を適用し、クラスS理論を生成する。ここで、穴はフレーバー対称性および欠損を表す。
• クーロン枝のシーベルグ・ウィッテン幾何学を用い、微分形式ωとϕ₂がそれぞれSW微分形式および2次微分形式を符号化する。
• カービィ・ヤウ3-foldを用いた幾何的エンジニアリングを用いる。A₁理論の例としてx² + u² + v² = ϕ₂(z)や、アーギュアス＝ダウグラー理論の例としてW_{A_{N-1}}(u,x) + W_{A_{M-1}}(v,z) = 0を用いる。
• ゲージ代数gのべき零軌道を用いて正則な穴を分類し、外部自己同型によるモノドロミー作用を用いて一般化された穴を可能にする。
• ミラー対称性およびIIA/IIB双対性を用いて、特に非ラグランジュアン理論において、コンパクト化と場理論的記述を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 N=2 SCFTの文脈において、3つの主要なUV構成法（ラグランジュアン、クラスS、幾何的エンジニアリング）はどのように関係しているか？
• RQ2 リーマン面上の穴（正則および不規則）が、N=2理論の分類およびそのフレーバー対称性に果たす役割は何か？
• RQ3 ADE特異性を有するカービィ・ヤウ多様体からのコンパクト化によって、アーギュアス＝ダウグラー理論を体系的にどのように構成できるか？
• RQ4 クラスS理論における正確に余剰な結合定数のモジュライ空間は、リーマン面の複素構造モジュライ空間とどのように一致するか？
• RQ5 外部自己同型によるモノドロミー作用が、正則な穴の分類およびそれに関連する場理論に与える影響は何か？

主な発見

• 多くのN=2ラグランジュアン理論はクラスS構成に埋め込むことができ、すべての理論がカービィ・ヤウ3-fold上の幾何的エンジニアリングによって実現可能である。
• クラスS理論における正確に余剰な結合定数の空間は、リーマン面Cの複素構造モジュライ空間と同型であり、クーロン枝の幾何学を符号化するSW微分ω = ∫Φ dzがその根拠をなす。
• アーギュアス＝ダウグラー理論は、W_{A_{N-1}}(u,x) + W_{A_{M-1}}(v,z) = 0で定義されるカービィ・ヤウ多様体へのコンパクト化の低エネルギー限界として実現され、D型およびE型への一般化はそれぞれの多項式を用いて可能である。
• 正則な穴はゲージ代数gのべき零軌道によってラベル付けされ、そのヒッグス枝はg^Cの最大のべき零軌道と一致すると予想される。
• 不規則な穴は、SW微分における高次の特異性、例えばϕ₂ = P_N(z)dz²またはϕ₂ = [P_N(z) + u/z + m²/z²]dz²から生じ、非ラグランジュアンSCFTを実現するために不可欠である。
• 6次元起源が知られていないE型クオーバー・ゲージ理論は、ADE特異性を有する楕円的ファイバー化されたカービィ・ヤウ多様体上での幾何的エンジニアリングにより、うまく記述可能である。