[論文レビュー] Family of intersecting totally real manifolds of $(\Bbb C^n,0)$ and CR-singularities

Laurent Stolovitch|ArXiv.org|Jun 2, 2005

Holomorphic and Operator Theory参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$({\mathbb{C}}^n,0)$ 内の完全実部分多様体およびCR特異点をもつ実解析的部分多様体の族を調査し、それらがホロモルフィックに直線化可能であるか、あるいは関連する二次形式と形式的に同値である条件を確立する。主な貢献は、形式的障害が存在する場合でさえホロモルフィック直線化を可能にする不変な複素解析的集合の構成であり、次元が高次である場合のビショップ不変量の一般化を達成し、ディオファントス的および非退化性条件の下でホロモルフィック同値性を証明する。

ABSTRACT

The first part of this article is devoted to the study families of totally real intersecting $n$-submanifolds of $(\Bbb C^n,0)$. We give some conditions which allow to straighten holomorphically the family. If this is not possible to do it formally, we construct a germ of complex analytic set at the origin which interesection with the family can be holomorphically staightened. The second part is devoted to the study real analytic $(n+r)$-submanifolds of $(\Bbb C^n,0)$ having a CR-singularity at the origin ($r$ is a nonnegative integer). We consider deformations of quadrics and we define generalized Bishop invariants. Such a quadric intersects the complex linear manifold ${z_{p+1}=...=z_n=0}$ along some real linear set ${\cal L}$. We study what happens to this intersection when the quadric is analytically perturbed. On the other hand, we show, under some assumptions, that if such a submanifold is formally equivalent to its associated quadric then it is holomorphically equivalent to it. All these results rely on a result stating the existence (and caracterization) of a germ of complex analytic set left invariant by an abelian group of germs of holomorphic diffeomorphisms (not tangent to the identity at the origin).

研究の動機と目的

• $({\mathbb{C}}^n,0)$ 内で原点で交わる完全実 $n$ 次元部分多様体の族のホロモルフィック分類を理解すること。
• 原点でCR特異点をもつ実解析的 $(n+r)$ 次元部分多様体、特に二次形式の変形を分析すること。
• 高次元のCR特異点をもつ部分多様体のための一般化されたビショップ不変量 $\gamma_i$ を定義し、解析的摂動におけるその幾何的挙動を研究すること。
• 形式的に二次形式と同値であることがホロモルフィック同値であることを示す条件を確立すること。
• アーベル群によるホロモルフィック微分同相の作用に関して不変な、複素解析的集合の局所的構造を構成し、交わりのホロモルフィック直線化を可能にする。

提案手法

• 原点近傍でのアーベル群によるホロモルフィック微分同相の族の作用を用いて、不変な複素解析的集合を同定する。
• 微分同相の線形化部分の非退化性およびディオファントス的条件を用いた線形化技術の適用。
• 微分同相の線形化部分に関して不変な単項式から生成される共振イデアル $\mathrm{ResIdeal}$ の構成。このイデアルは不変集合の零点集合を定義する。
• 問題を線形化系の第一積分および不変量の研究に還元し、特に単項式 $\zeta_i\eta_i$ および $\upsilon_j\upsilon_k$ に注目する。
• 部分多様体の複素化および反ホロモルフィック自己同型 $\rho$ の固定点集合 $\mathrm{Fix}(\rho)$ を用いて、複素解析的集合との交わりを特徴付ける。
• 共振およびディオファントス的条件の下で微分同相の形式的線形化に関する定理を応用し、直線化プロセスの収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $($\mathbb{C}^n,0)$ 内の完全実 $n$ 次元部分多様体の族が、いつホロモルフィックに $n$ 次元平面に直線化可能か？
• RQ2 形式的障害が存在する場合に、ホロモルフィック直線化を解消するための複素解析的集合の局所的構造の役割は何か？
• RQ3 一般化されたビショップ不変量 $\gamma_i$ は、$({\mathbb{C}}^n,0)$ 内の $n$ 次元CR特異点をもつ部分多様体の幾何をどのように特徴付けるか？
• RQ4 CR特異点をもつ実解析的部分多様体が、関連する二次形式と形式的に同値であるとき、いつホロモルフィック同値にもなるか？
• RQ5 適切なホロモルフィック座標系において、CR特異点をもつ部分多様体と不変な複素解析的集合との交わりの構造はどのようなものか？

主な発見

• アーベル群によるホロモルフィック微分同相の作用に関して不変な複素解析的集合の局所的構造が存在し、形式的直線化に失敗する場合でさえ、完全実部分多様体の族との交わりをホロモルフィックに直線化可能である。
• 微分同相の線形化部分に関して不変な単項式から生成される共振イデアル $\mathrm{ResIdeal}$ は、部分多様体と複素線形部分空間との複素化された交わりの局所的零点集合を定義する。
• $p=1$ の場合、結果はクリンゲンベルクの定理を回復する：適切な座標系において $\{v_2=0\}$ は部分多様体と $\{\zeta_1\eta_1=0\}$ に沿って交わる。これは実解析的集合である。
• 線形化部分 $D\Phi(0)$ が相異なる双曲型固有値をもち、$\mathrm{ResIdeal}$ に対してディオファントス的条件を満たすとき、部分多様体は関連する二次形式とホロモルフィック同値である。
• 楕円型または複素固有値をもつ部分多様体の場合、不変集合は $\tilde{V} = V({\cal I}) \cap \bigcap_{i\in{\cal E}}\{\zeta_i=\eta_i=0\} \cap \bigcap_{j\in{\cal C}}\{\zeta_{r+2j-1}=\eta_{r+2j-1}=\zeta_{r+2j}=\eta_{r+2j}=0\}$ に修正され、この集合は自己同型 $\rho$ に関して不変のままである。
• 部分多様体を定義する関数は $\mathrm{ResIdeal}$ の零点集合上で消える。また、$V(\mathrm{ResIdeal})$ の $\tau_j$-不変性により、群作用の下で交わりが保存される。