[論文レビュー] Fano manifolds of Calabi-Yau type

Atanas Iliev, Laurent Manivel|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、カルラヤ・ヤウ3-foldのホッジ構造を模倣する中間次元ホッジ構造を有する、奇数次元のコンパクト複素多様体であるカルラヤ・ヤウ型のファノ多様体を導入し、その性質を研究する。特に、ホッジ数 h^{n+2,n-1} = h^{n-1,n+2} = 1 で、それより高いホッジ数はすべて0である。著者らは、特別な双対性を持つ同次空間の線形切断を用いて明示的な例を構成し、特に射影双対がコインデックスから1を引いた次数の超曲面である場合に注目する。また、相対中間ジャコビアンを介して、このような多様体が可積分系を支持することを証明する。

ABSTRACT

We introduce and we study a class of odd dimensional compact complex manifolds whose Hodge structure in middle dimension looks like that of a Calabi-Yau threefold. We construct several series of interesting examples from rational homogeneous spaces with special properties.

研究の動機と目的

• 中間次元のホッジ構造がカルラヤ・ヤウ3-foldに類似する、奇数次元のコンパクト複素多様体の新規クラスを定義し、その性質を研究すること。
• 特に、有理型同次多様体内の完全交差や二重被覆として得られる、そのような多様体の明示的例を構成すること。
• これらの多様体の幾何学的およびホモロジー的性質、特に変形理論と周期写像を調査すること。
• カルラヤ・ヤウ3foldの場合と同様に、相対中間ジャコビアンを介して、これらの多様体が可積分系を支持するかどうかを検討すること。
• 特に、射影双対がコインデックスから1を引いた次数の超曲面であるような、特別な双対性を持つ同次空間の線形切断として、このような多様体がどのような条件下で生じるかを同定すること。

提案手法

• カルラヤ・ヤウ型多様体を、次元が奇数 2n+1 である滑らかなコンパクト複素多様体で、特定のホッジ数条件 h^{n+2,n-1} = h^{n-1,n+2} = 1 および p ≥ 2 に対して h^{n+p+1,n-p} = 0 を満たすものとして定義する。
• 生成子 ω ∈ H^{n+2,n-1}(X) を用いて、写像 H^1(X,TX) → H^{n-1}(X,Ω^{n+1}_X) の収縮写像に条件を課し、これが同型であることを要請する。
• 同次空間とその射影双対の理論を用い、特に双対がコインデックスから1を引いた次数の超曲面である場合に注目する。
• 特に E6 ルート系におけるワイル群の重みへの作用を用いて、カイリー平面 OP^2 上のねじれた微分形式のコホモロジー群を計算するため、表現論およびリー群の技法を適用する。
• ボレル＝ヴァイル＝ボットの定理を用いて旗多様体上の不可約ベクトルバンドルのコホモロジーを計算し、特定の次数で1次元のコホモロジーを持つ場合を同定する。
• Ω^p_Σ(−k) のコホモロジーが唯一の次数を除いてすべて消えることを検証し、カルラヤ・ヤウ型多様体の期待されるホッジ構造を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カルラヤ・ヤウ3fold の中間次元ホッジ数と一致するが、カルラヤ・ヤウでないファノ多様体は、中間次元ホッジ構造を有するように構成可能か？
• RQ2 同次空間に対してどのような条件下で線形切断がカルラヤ・ヤウ型多様体を生じるか、特に射影双対がコインデックスから1を引いた次数の超曲面である場合に注目する。
• RQ3 カルラヤ・ヤウ3fold の場合と同様に、相対中間ジャコビアンを介してカルラヤ・ヤウ型多様体が可積分系を支持するか？
• RQ4 収縮写像 H^1(X,TX) → H^{n-1}(X,Ω^{n+1}_X) は、カルラヤ・ヤウ型多様体を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ5 例えば、一般の3次7次元超曲面は、カルタン3次超曲面のような同次空間の双対超曲面の線形切断として、有限個の方法で表現可能か？

主な発見

• 本稿では、偶数次元のムカイ多様体の2次切断として、および奇数次元のムカイ多様体の2次切断上に分岐する二重被覆として、カルラヤ・ヤウ型のファノ多様体の明示的例を構成する。
• 射影双対がコインデックスから1を引いた次数の超曲面であるという性質を有する4つの特定の同次空間に対して、適切な線形切断が、所望のホッジ数を持つ多様体を生じることを示す。
• その4つのケースの半数では、著者らは明確に結果を証明している。残りの2つのケースでは、非常に煩雑なコホモロジー計算を完了すれば、結果が成り立つと予想している。
• 14次元のスピンルール多様体 Σ = SS_{14} に対して、コホモロジー群 H^{14}(Σ, Ω^7_Σ(−4)) が1次元であることを、ワイル群の重みへの作用を用いて証明する。
• カイリー平面 OP^2 に対して、コホモロジー群 H^{14}(Σ, Ω^2_Σ(−9)) が1次元であることを、ねじれた重みが ρ（ワイルベクトル）のワイル軌道上にあることを示すことによって証明する。
• p ≤ c−1 および 1 ≤ k ≤ r−p の条件下で、コホモロジー H^q(Σ, Ω^p_Σ(−k)) は、q = r+2, p = c−2, k = r−c+1 の場合にのみ非ゼロであり、そのとき1次元であることが証明される。