[論文レビュー] Farthest point problem and M-compact sets

‎Debmalya Sain, Kallol Paul+1 more|arXiv (Cornell University)|May 13, 2016

Optimization and Variational Analysis参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、M-コンパクト性を用いて、有限次元の厳密に凸なノルム線形空間における一意に遠方な集合が単集合であることを、初等的な証明で示している。これにより、遠方点問題に関する既存の結果が一般化され強化されている。集合が一意に遠方的かつM-コンパクトであるならば、その導集合もまた一意に遠方的かつM-コンパクトであり、導集合がコンパクトならば、元の集合は単集合でなければならないことが確立されている。

ABSTRACT

In this paper we give an elementary proof of the fact that every uniquely remotal set is singleton in a finite dimensional strictly convex normed linear space. We show that if A is a uniquely remotal M-compact subset with the derived set of A non-empty then the derived set of A is M-compact and uniquely remotal. We also show that if A is a uniquely remotal M-compact set and the derived set of A is compact then A is singleton.

研究の動機と目的

• 有限次元の厳密に凸なノルム線形空間における一意に遠方な集合が常に単集合であることを、簡潔で初等的な証明で示すこと。
• 遠方点問題（FPP）におけるM-コンパクト性の役割を調査し、ノルム線形空間における距離幾何へのその影響を明らかにすること。
• 一意に遠方的かつM-コンパクトな集合の導集合が、再び一意に遠方的かつM-コンパクトであることを確立すること。
• 一意に遠方的かつM-コンパクトな集合の導集合がコンパクトであるならば、その集合が単集合でなければならないことを証明すること。
• 厳密に凸空間における一意に遠方な集合のM-コンパクト性と閉包性質との関係を明らかにすること。

提案手法

• 任意の最大化列が集合内に極限をもつというM-コンパクト性の概念を用いる。
• 厳密凸性を適用して、与えられた点からの遠方点が集合の閉包内で一意でない場合、三角不等式とノルムの厳密性により矛盾が生じることを示す。
• 導集合 $A'$ における列を用いて $A$ 内の最大化列を構成し、M-コンパクト性により収束を保証する。
• $D(x,A) = D(x,\bar{A})$ であるという事実を用いて、$A$ とその閉包 $\bar{A}$ 間の遠方距離を関連づけ、$A$ が一意に遠方的ならば $\bar{A}$ も一意に遠方的であることを証明する。
• バナッハ空間におけるコンパクトな一意に遠方的集合が単集合であるというKleeの結果を、$Far(A)$（$A$ のすべての遠方点の集合）に適用し、これがコンパクトかつ一意に遠方的であることを示す。
• $Far(A)$ のM-コンパクト性と閉包・一意性の議論を組み合わせることで、$A'$ がコンパクトならば $A$ が単集合でなければならないと結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元の厳密に凸なノルム線形空間における一意に遠方な集合は、常に単集合であるか？
• RQ2 一意に遠方的集合のM-コンパクト性は、その導集合が再び一意に遠方的かつM-コンパクトであることを意味するか？
• RQ3 導集合 $A'$ のコンパクト性が、元の集合 $A$ が単集合であることを示すために満たすべき条件は何か？
• RQ4 一般のノルム線形空間において、一意に遠方な集合の閉包は常に一意に遠方的であるか？
• RQ5 ノルム線形空間におけるM-コンパクト性と遠方点の一意性の関係は何か？

主な発見

• 有限次元の厳密に凸なノルム線形空間において、一意に遠方な集合はすべて単集合であり、本論文では新たな初等的証明が提示されている。
• 一意に遠方的かつM-コンパクトな部分集合 $A$ が厳密に凸なノルム線形空間に存在する場合、$\/overline{A}$ も一意に遠方的である。
• 一意に遠方的かつM-コンパクトな集合 $A$ について、$A' \neq \emptyset$ ならば、導集合 $A'$ は一意に遠方的かつM-コンパクトである。
• 一意に遠方的かつM-コンパクトな集合 $A$ について、$A'$ がコンパクトならば、$A$ は単集合でなければならない。
• 集合 $Far(A)$（$A$ のすべての遠方点の集合）は、$A$ が一意に遠方的かつM-コンパクトならば、M-コンパクトかつ一意に遠方的である。
• 厳密に凸空間において、一意に遠方な集合の閉包は一意に遠方的であるが、これは一般のノルム線形空間では成り立たない。