[論文レビュー] Fast algorithms for optimal control, anisotropic front propagation and multiple arrivals

James A. Sethian|ArXiv.org|May 8, 2003

Numerical methods for differential equations参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、最適制御、異方性フロント伝播、複数波front到達に生じる静的ハミルトニアン・ジャコビ方程式を解く高速で一回読み込みのアルゴリズムを提示する。粘性解に対しては順序付き上向き法（Ordered Upwind Methods）を用い、非粘性解に対しては脱出方程式を用いた位相空間定式化を行う。情報伝播の因果関係を活用することで、O(N log N)の計算量を達成し、連続空間における最初到着解および複数到着解の両方を効率的かつ安定的かつ高精度に計算可能となる。

ABSTRACT

We review some recent work in fast, efficient and accurate methods to compute viscosity solutions and non-viscosity solutions to static Hamilton-Jacobi equations which arise in optimal control, anisotropic front propagation, and multiple arrivals in wave propagation. For viscosity solutions, the class of algorithms are known as ``Ordered Upwind Methods'', and rely on a systematic ordering inherent in the characteristic flow of information. For non-viscosity multiple arrivals, the techniques hinge on a static boundary value phase-space formulation which again can be solved through a systematic ordering.

研究の動機と目的

• 最適制御、異方性フロント伝播、複数到着波frontに生じる静的ハミルトニアン・ジャコビ方程式を解くための効率的数値法の開発。
• 情報伝播の因果関係と情報フローの順序を保ちながら、Dijkstraの最短経路アルゴリズムを連続空間に拡張すること。
• 位相空間における境界値問題に変換することで、非粘性（複数到着）解を効率的に計算すること。
• 粘性解および非粘性解の両方においてO(N log N)の計算量を達成し、離散的最短経路アルゴリズムと同等の効率性を実現すること。
• 時間ステップ制限を排除し、ハミルトニアン・ジャコビ方程式の解法において絶対的安定性を確保すること。

提案手法

• 情報の伝播順序に基づいてグリッド点を順序付けする順序付き上向き法を用いて、Dijkstraのアルゴリズムを連続空間に適応する。
• 優先度キューを用いて「検討中」の点の集合を維持・更新し、各点が最小限の計算コストで一度だけ処理されるようにする。
• 波frontの複数到着問題を、位置xと運動量pからなる位相空間(x, p)の表現で定式化し、光源からのすべての可能な光線を追跡する。
• 特性曲線とリウヴィル方程式を用いて、境界での最初の到着時刻、位置、勾配を記述する位相空間における脱出方程式を導出する。
• 脱出方程式を用いて境界から後退的に順次進める一回読み込みのアルゴリズムを位相空間に構築し、各点が再訪問されないことを保証する。
• 反復的再計算や時間ステッピングを伴わずに、位相空間境界値問題を解くことで、最初到着およびその後の到着を含む全到着を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Dijkstraの1回読み込み最短経路アルゴリズムを、ハミルトニアン・ジャコビ方程式に従う連続的最適制御問題にどのように適応できるか。
• RQ2 波動伝播およびフロント進化問題における非粘性解（複数到着）を計算する正しい定式化とは何か。
• RQ3 繰り返し再計算や時間ステッピングを伴わず、複数到着問題に向けた1回読み込みアルゴリズムを構築できるか。
• RQ4 物理空間または位相空間における体系的な順序付けを用いて、粘性解および非粘性解の両方で情報伝播の因果関係をどのように保てるか。
• RQ5 従来の時間積分スキームと比較して、これらの手法の計算量と安定性はいかがなっているか。

主な発見

• 順序付き上向き法は、連続空間におけるDijkstraのアルゴリズムを模倣することで、粘性解に対してO(N log N)の計算量を達成し、1回読み込み収束を保証する。
• 位相空間における脱出方程式付き定式化により、複数到着を同時に計算可能となり、時間ステッピングや反復的再処理の必要がなくなる。
• 絶対的安定性を有し、時間ステップ制限を必要としないため、複雑な異方性や遅い領域を有する問題に対しても頑健である。
• 数値結果から、自己干渉による屈曲点（cusp）やのど（swallowtail）構造を、内向きに伝播する正方形フロントの例で正確に捉えていることが示された。
• 地球物理学的および光学的応用において、最初到着および複数到着波frontを正しく表現するシミュレーションが成功した。
• 計算コストは問題サイズに応じて効率的に増加し、1回読み込み性により、位相空間内の各グリッド点が最大1回ずつしか訪問されない。