[論文レビュー] Fast and Deterministic Approximations for $k$-Cut

Quanrud, Kent|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 32被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、k-カット問題の新しい線形計画（LP）緩和に対する近似スキームを用いて、決定的でほぼ線形時間（2 + ε）近似アルゴリズムを提示する。LPに対するほぼ線形時間（1 + ε）近似と、最小スパニングフォレストと動的木に基づくグリーディーカットラウンディング手順を組み合わせることで、O(m log³n / ε²)の決定的実行時間が達成され、先行研究の確率的効率を模倣しながら、2に近いタイトな近似因子を提供する。

ABSTRACT

In an undirected graph, a k-cut is a set of edges whose removal breaks the graph into at least k connected components. The minimum weight k-cut can be computed in n^O(k) time, but when k is treated as part of the input, computing the minimum weight k-cut is NP-Hard [Goldschmidt and Hochbaum, 1994]. For poly(m,n,k)-time algorithms, the best possible approximation factor is essentially 2 under the small set expansion hypothesis [Manurangsi, 2017]. Saran and Vazirani [1995] showed that a (2 - 2/k)-approximately minimum weight k-cut can be computed via O(k) minimum cuts, which implies a O~(km) randomized running time via the nearly linear time randomized min-cut algorithm of Karger [2000]. Nagamochi and Kamidoi [2007] showed that a (2 - 2/k)-approximately minimum weight k-cut can be computed deterministically in O(mn + n^2 log n) time. These results prompt two basic questions. The first concerns the role of randomization. Is there a deterministic algorithm for 2-approximate k-cuts matching the randomized running time of O~(km)? The second question qualitatively compares minimum cut to 2-approximate minimum k-cut. Can 2-approximate k-cuts be computed as fast as the minimum cut - in O~(m) randomized time? We give a deterministic approximation algorithm that computes (2 + eps)-minimum k-cuts in O(m log^3 n / eps^2) time, via a (1 + eps)-approximation for an LP relaxation of k-cut.

研究の動機と目的

• 2-近似k-カットの決定的アルゴリズムと確率的アルゴリズムの間のギャップを埋めるために、ほぼ線形時間複雑度を持つ決定的アルゴリズムを達成すること。
• k-カットの2-近似が最小カットと同様にÕ(m)時間で計算可能かどうかを解明すること——具体的にはkに線形依存しないようにすること。
• 確率的k-カットアルゴリズムの実行時間に匹敵するが、決定的であるという代替手法を提供すること。
• 2-近似k-カットの最良既知の決定的実行時間O(mn + n² log n)を、すべてのkに対してほぼ線形時間に改善すること。

提案手法

• NaorとRabaniが当初提唱した、k-カットを整数解として捉える新しいLP緩和を提案する。
• 反復ラウンディングと動的木データ構造を用いて、このLP緩和に対するほぼ線形時間（1 + ε）近似スキームを開発する。
• グリーディーカットラウンディング手順を採用：まずxₑ ≥ (n−1)/(2n)を満たす辺を選択し、残りの辺に対して最小スパニングフォレストを計算してk−ℓ個の軽いグリーディーカットを抽出する。
• 動的木を用いて、葉からLCAまでのパス値を維持することで、各辺あたりO(log n)時間でカット重みを効率的に計算する。
• Chekuriらのプライマル・デュアル洞察を活用し、グリーディーカット手順が2(1 − 1/n)-近似を達成することを示し、LPのε-近似により(2 + ε)に改善されることを示す。
• 動的木を用いてラウンディングをO(m log n)時間で実装し、全体としてO(m log³n / ε²)の決定的実行時間となるように保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 決定的アルゴリズムが、最小カットと同様にÕ(m)時間で2-近似k-カットを計算可能か？
• RQ2 決定的k-カットと確率的k-カットのギャップは、基本的な最小カット問題に起因しており、ほぼ線形時間の決定的最小カットアルゴリズムによって埋められるか？
• RQ3 LP緩和と効率的なラウンディングを用いて、k-カットの(2 + ε)-近似をほぼ線形時間で達成可能か？
• RQ4 k-カットのLP緩和は、タイトな近似保証を可能にするほぼ線形時間（1 + ε）近似スキームを備えているか？
• RQ5 グリーディーカットラウンディング技法は、動的木を用いて、決定的でほぼ線形時間に効率的に実装可能か？

主な発見

• 本論文は、O(m log³n / ε²)時間で決定的(2 + ε)-近似を達成する最小k-カットのアルゴリズムを実現し、kに依存しないほぼ線形時間である。
• 本研究は、Naor-Rabaniのk-カットLP緩和に対する初めてのほぼ線形時間（1 + ε）近似スキームを提案する。
• 最小スパニングフォレストのグリーディーカットに基づくラウンディング手順は2(1 − 1/n)-近似を達成するが、LPのε-近似により(2 + ε)に改善される。
• ラウンディングステップの実装は動的木を用いてO(m log n)時間で実行され、全体のほぼ線形実行時間を可能にする。
• SaranとVaziraniのアルゴリズムの確率的実行時間（Õ(km)）と同等の性能を達成するが、kに依存しないため、すべてのkに対してÕ(m)時間となる。
• スモールセット拡張仮説のもとでは、(2 + ε)-近似因子は本質的にタイトであり、2を下回る近似はP = NPを意味する。