[論文レビュー] Fast and Efficient Sparse 2D Discrete Fourier Transform using Sparse-Graph Codes

Frank Ong, Sameer Pawar+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2015

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 9被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、スパース・グラフ・コード、サブサンプリング、エイリアシング、中国剰余定理を用いてスパース2次元離散フーリエ変換を計算する新しいアルゴリズム2D-FFASTを提案する。$k/N \to 0$ の条件下で $k$ スパース信号に対して $O(k)$ 測定値と $O(k\log k)$ 計算時間で実現され、画像のようなスパース2次元信号の高速かつ低複雑度な復元を可能にする。

ABSTRACT

We present a novel algorithm, named the 2D-FFAST, to compute a sparse 2D-Discrete Fourier Transform (2D-DFT) featuring both low sample complexity and low computational complexity. The proposed algorithm is based on mixed concepts from signal processing (sub-sampling and aliasing), coding theory (sparse-graph codes) and number theory (Chinese-remainder-theorem) and generalizes the 1D-FFAST 2 algorithm recently proposed by Pawar and Ramchandran [1] to the 2D setting. Concretely, our proposed 2D-FFAST algorithm computes a k-sparse 2D-DFT, with a uniformly random support, of size N = Nx x Ny using O(k) noiseless spatial-domain measurements in O(k log k) computational time. Our results are attractive when the sparsity is sub-linear with respect to the signal dimension, that is, when k -> infinity and k/N -> 0. For the case when the spatial-domain measurements are corrupted by additive noise, our 2D-FFAST framework extends to a noise-robust version in sub-linear time of O(k log4 N ) using O(k log3 N ) measurements. Simulation results, on synthetic images as well as real-world magnetic resonance images, are provided in Section VII and demonstrate the empirical performance of the proposed 2D-FFAST algorithm.

研究の動機と目的

• 従来の圧縮センシング手法よりも計算効率およびサンプリング効率に優れる、スパース2次元DFTを計算する低複雑度のアルゴリズムの開発。
• サブサンプリング、エイリアシング、スパース・グラフ・コードを用いて1次元-FFASTフレームワークを2次元信号に拡張すること。
• 1次元-FFASTから得られる復元保証を、互いに素でない次元を含む2次元信号へ一般化しながら維持すること。
• 実世界の応用に適した、加法的ガウスノイズに強い変種の設計。
• 理論的主張を実証するため、合成MRIデータおよび実際のMRIデータを用いた実験的性能の評価。

提案手法

• 中国剰余定理に従うサブサンプリング戦略を用いて、DFTドメインにスパース・グラフ・コードを生成するエイリアシングパターンを誘発する。
• 各サブサンプリング段階で、エイリアシングされた2次元DFTが得られ、非ゼロDFT係数が測定バインに双方向グラフ構造で接続されるスパースグラフとして扱われる。
• 復元プロセスでは、オニオン皮むき風の反復アルゴリズムを用いて、エイリアシングされた測定値からスパースDFT係数をデコードする。
• ノイズ耐性を高めるために、各段階で $O(\log N)$ の遅延チェーンを統合し、1次元-FFASTのノイズ耐性アプローチを2次元に拡張する。
• 信号次元 $N_x$ と $N_y$ の互いに素な分解を用いて、2次元サポートの復元を1次元-FFASTアーキテクチャにマッピングし、理論的復元保証を可能にする。
• 2次元の剰余インデックスを単一の整数に再ラベル化するスキームを導入し、2次元の双方向グラフ構造を解析および復元に適した1次元的構造に変換する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元-FFASTフレームワークは、スパース2次元DFTに一般化可能であり、同時に低サンプリングおよび低計算複雑度を維持できるか？
• RQ2 2次元におけるサブサンプリングとエイリアシングは、高速な復元に適したスパース・グラフ・コード構造を構築するためにどのように活用できるか？
• RQ3 スパース2次元DFT信号の測定および計算複雑度の観点から、2D-FFASTアルゴリズムの理論的復元性能はどの程度か？
• RQ4 実用的応用において加法的白色ガウスノイズに強い2D-FFASTフレームワークは、どのように構築できるか？
• RQ5 理論的漸近的および確率的保証を有する2D-FFASTアルゴリズムは、MRIのような実世界の画像データにどの程度応用可能か？

主な発見

• 2D-FFASTアルゴリズムは、$k = o(N)$ の条件下で、$O(k)$ のノイズのない空間ドメイン測定値を用いて $O(k\log k)$ の計算時間で $k$ スパース2次元DFTを計算する。
• ノイズのある測定値に対しては、$O(k\log^4 N)$ の時間で復元が可能であり、$O(k\log^3 N)$ の測定値を用いる。このとき、非線形複雑度を維持する。
• 非ゼロDFT係数のサポートが一様にランダムなモデルに従う場合、$k$ および $N$ が大きくなるに従い、確率が1に近づく。
• 2次元の双方向グラフ構造を1次元-FFASTアーキテクチャにマッピングすることで、2D-FFASTフレームワークは理論的に裏付けられ、$\delta = 2/3$ および一般の $\delta < 1$ に対して復元保証を維持する。
• 合成画像および実際のMRIデータに対するシミュレーション結果は、アルゴリズムの実証的有効性を確認しており、低サンプリングレート下でも高速かつ正確な再構成を実現している。
• 本手法は、MRIやCTのように低消費電力と高速再構成が重要な応用分野における、実用的なリアルタイム信号解析を可能にする。