[論文レビュー] Fast and highly accurate computation of Chebyshev expansion coefficients of analytic functions

Haiyong Wang, Daan Huybrechs|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2014

Iterative Methods for Nonlinear Equations参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、複素平面における contour 積分を用いて、解析関数のチェビシェフ展開係数を計算する新規手法を提示する。この手法は、機械精度に近い相対誤差を達成する。各係数ごとに contour の半径を最適化することで、非常に小さな係数に対しても高い精度を保証し、精度を損なうことなく高次の導関数や導関数の根を近似機械精度で計算可能にする。

ABSTRACT

Chebyshev expansion coefficients can be computed efficiently by using the FFT, and for smooth functions the resulting approximation is close to optimal, with computations that are numerically stable. Given sufficiently accurate function samples, the Chebyshev expansion coefficients can be computed to machine precision accuracy. However, the accuracy is only with respect to absolute error, and this implies that very small expansion coefficients typically have very large relative error. Upon differentiating a Chebyshev expansion, this relative error in the small coefficients is magnified and accuracy may be lost, especially after repeated differentiation. At first sight, this seems unavoidable. Yet, in this paper, we focus on an alternative computation of Chebyshev expansion coefficients using contour integrals in the complex plane. The main result is that the coefficients can be computed with machine precision relative error, rather than absolute error. This implies that even very small coefficients can be computed with full floating point accuracy, even when they are themselves much smaller than machine precision. As a result, no accuracy is lost after differentiating the expansion, and even the 100th derivative of an analytic function can be computed with near machine precision accuracy using standard floating point arithmetic. In some cases, the contour integrals can be evaluated using the FFT, making the approach both highly accurate and fast.

研究の動機と目的

• 標準的な FFT を用いたチェビシェフ係数計算において、特に小さな係数やその導関数に対して精度が低下する問題に対処すること。
• 係数計算において絶対誤差ではなく機械精度の相対誤差を達成する手法の開発。
• 標準的な浮動小数点演算を用いて、解析関数の高次導関数を正確に計算可能にする。
• スペクトル法の安定性と精度を、滑らかな関数における高次導関数および根の特定にまで拡張すること。
• 各係数ごとに最適な contour 半径を用いたチェビシェフ係数計算のフレームワークを提供し、堅牢性と精度を確保すること。

提案手法

• 本手法は、複素平面における contour 積分を用いてチェビシェフ展開係数を計算し、数値積分には台形則を適用する。
• 各係数 $ a_n $ に対して、相対誤差を最小化するように最適な半径 $ \rho^*(n) $ を選択し、非常に小さな係数に対しても高い精度を保証する。
• contour 積分の定式化により、すべての係数に同じ半径を使用する場合には FFT を利用可能にし、計算効率を維持する。
• 各係数ごとに最適な半径を使用する場合、微分後に相対誤差が拡大する標準的な FFT に基づく手法の欠陥を回避する。
• 複素関数論およびコーシー積分公式を活用し、テイラー係数の計算に類似したボルネマンの手法を、チェビシェフ展開に適応したものである。
• 導関数は、チェビシェフ展開を微分することで計算し、導関数の係数に対して再帰関係を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解析関数のチェビシェフ展開係数を、絶対誤差ではなく機械精度の相対誤差で計算できるか？
• RQ2 各係数ごとに最適な contour 半径を使用することで、高次導関数の計算精度が顕著に向上するか？
• RQ3 標準的な浮動小数点演算を用いても、解析関数の100階微分を近似的に機械精度で計算できるか？
• RQ4 最適な半径を用いた係数計算により、高次導関数の根を正確に計算できるか？
• RQ5 各係数に対して最適な半径を効率的かつ自動的に決定する方法は何か？

主な発見

• 提案手法は、機械エpsilon よりもはるかに小さな係数に対しても、機械精度の相対誤差でチェビシェフ係数を計算可能である。
• 100階微分を含む高次導関数でさえ、標準的な浮動小数点演算を用いて近似機械精度の精度で計算可能である。
• 各係数 $ a_n $ に対して最適な半径 $ \rho^*(n) $ を使用することで、相対誤差が小さく保たれ、微分による誤差拡大を防げる。
• 数値実験の結果、各係数ごとに独自の最適半径を使用することで、固定半径を全係数に適用する場合に比べ、導関数の根の計算誤差が顕著に低減される。
• すべての係数に同じ半径を使用する場合、計算効率が維持され、FFT を用いた高速化が可能である。
• この手法により、最大値や変曲点などの高次導関数の根を、導関数展開の係数を正確に計算することで、正確に特定可能である。