[論文レビュー] Fast and Robust Compressive Phase Retrieval with Sparse-Graph Codes

Dong Yin, Kangwook Lee+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2016

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、スパース・グラフ・コードを用いたノイズあり圧縮位相再構成のための、2つのロバストで高速なアルゴリズム——ほぼ線形および部分線形のスキーム——を提案する。計算複雑度が部分線形のΘ(K log³n)で、サンプル複雑度が最適なΘ(K log n)である。これは、理論的保証のもとで部分線形複雑度とノイズへのロバスト性を備えた、圧縮位相再構成のための最初の手法である。

ABSTRACT

In this paper, we tackle the compressive phase retrieval problem in the presence of noise. The noisy compressive phase retrieval problem is to recover a $K$-sparse complex signal $s \in \mathbb{C}^n$, from a set of $m$ noisy quadratic measurements: $ y_i=| a_i^H s |^2+w_i$, where $a_i^H\in\mathbb{C}^n$ is the $i$th row of the measurement matrix $A\in\mathbb{C}^{m imes n}$, and $w_i$ is the additive noise to the $i$th measurement. We consider the regime where $K=βn^δ$, with constants $β>0$ and $δ\in(0,1)$. We use the architecture of PhaseCode algorithm, and robustify it using two schemes: the almost-linear scheme and the sublinear scheme. We prove that with high probability, the almost-linear scheme recovers $s$ with sample complexity $Θ(K \log(n))$ and computational complexity $Θ(n \log(n))$, and the sublinear scheme recovers $s$ with sample complexity $Θ(K\log^3(n))$ and computational complexity $Θ(K\log^3(n))$. To the best of our knowledge, this is the first scheme that achieves sublinear computational complexity for compressive phase retrieval problem. Finally, we provide simulation results that support our theoretical contributions.

研究の動機と目的

• Kスパースな複素信号のノイズあり圧縮位相再構成問題を、最小限のサンプル数と計算複雑度で解くこと。
• 2次測定値における加法的ノイズを扱えるように、PhaseCodeアルゴリズムのロバスト版を開発すること。
• 信号次元nにおいて部分線形の計算複雑度を達成すること。これは、先行研究と比較して重要な前進である。
• 現実的なノイズ仮定のもとで、グローバル位相を除き信号の高確率再構成を保証すること。
• ほぼ線形および部分線形スキームの両者について、サンプル複雑度および計算複雑度の理論的保証を提供すること。

提案手法

• 符号理論におけるスパース・グラフ・コードを用いて、PhaseCodeフレームワークを適応し、高速かつロバストな信号再構成を可能にする。
• 2つのスキームを設計する：計算複雑度がΘ(n log n)のほぼ線形スキームと、Θ(K log³n)の部分線形スキーム。
• 測定モデルを y_i = |a_i^H s|² + w_i と定義する。ここで w_i は指数的尾部を示すノイズであり、s はC^n内にKスパースである。
• ハンソン＝ハーウェイとの不等式を用いて、確率的ベクトルの2次形式の尾確率を抑え、ノイズへのロバスト性を確保する。
• 有限の大きさと位相集合を持つ量子化信号成分を仮定することで、効率的な表現と再構成を可能にする。
• ヘルミート行列および複素ガウス分布ベクトルの性質を用いて、集中不等式を用いて高確率再構成を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノイズあり圧縮位相再構成において、スパース信号の次元nに関して部分線形の計算複雑度を達成できるか？
• RQ2 指数的尾部ノイズ下で、ロバストな再構成に必要な最小サンプル複雑度は何か？
• RQ3 スパース・グラフ・コードをどのように変更すれば、位相再構成におけるノイズの影響に対してロバスト性を提供できるか？
• RQ4 PhaseCodeフレームワークを、理論的保証のもとでノイズあり、スパースで複素信号の再構成に拡張できるか？
• RQ5 提案されたスキームにおいて、サンプル複雑度と計算複雑度のトレードオフは何か？

主な発見

• ほぼ線形スキームは、サンプル複雑度Θ(K log n)および計算複雑度Θ(n log n)を達成し、高速な再構成を可能にする。
• 部分線形スキームは、サンプル複雑度Θ(K log³n)および計算複雑度Θ(K log³n)を達成し、この問題に対して部分線形複雑度を達成する最初のアルゴリズムである。
• 両スキームとも、指数的尾部ノイズ下で、グローバル位相を除きKスパースな複素信号の高確率再構成を保証する。
• 理論的解析により、集中不等式および2次形式の尾確率の境界を用いて、ロバスト性が確認される。
• シミュレーションにより理論的結果が検証され、ノイズ下でも優れた実験的性能が示された。
• このフレームワークは、信号が量子化されており測定値がノイズを含む現実世界のシナリオにも適用可能である。