[論文レビュー] Fast and Simple Edge-Coloring Algorithms

Corwin Sinnamon, Rotenberg, Eva+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2019

Advanced Graph Theory Research参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、単純グラフに対する新しい決定的およびランダム化されたエッジ彩色アルゴリズムを提示する。これらのアルゴリズムは、|E|√|V| 時間計算量を達成し、以前の最良のランタイムである |E|√|V| log |V| よりも改善している。アプローチは、αβパスとファン活性化に基づく再帰的戦略を用い、最大頂点次数 d に対する d+1 色でエッジを効率的に彩色する。ランダム化により実装が簡素化されつつ、漸近的性能は損なわれない。

ABSTRACT

We develop sequential algorithms for constructing edge-colorings of graphs and multigraphs efficiently and using few colors. Our primary focus is edge-coloring arbitrary simple graphs using $d+1$ colors, where $d$ is the largest vertex degree in the graph. Vizing's Theorem states that every simple graph can be edge-colored using $d+1$ colors. Although some graphs can be edge-colored using only $d$ colors, it is NP-hard to recognize graphs of this type [Holyer, 1981]. So using $d+1$ colors is a natural goal. Efficient techniques for $(d+1)$-edge-coloring were developed by Gabow, Nishizeki, Kariv, Leven, and Terada in 1985, and independently by Arjomandi in 1982, leading to algorithms that run in $O(|E| \sqrt{|V| \log |V|})$ time. They have remained the fastest known algorithms for this task. We improve the runtime to $O(|E| \sqrt{|V|})$ with a small modification and careful analysis. We then develop a randomized version of the algorithm that is much simpler to implement and has the same asymptotic runtime, with very high probability. On the way to these results, we give a simple algorithm for $(2d-1)$-edge-coloring of multigraphs that runs in $O(|E|\log d)$ time. Underlying these algorithms is a general edge-coloring strategy which may lend itself to further applications.

研究の動機と目的

• 単純グラフのエッジ彩色において、Vizingの定理が保証する d+1 色を用いた、より高速で簡単なアルゴリズムの開発。
• 従来のアルゴリズムが複雑なサブルーチンによって生じる log|V| 要因のため非効率であったのを是正すること。
• 決定的で複雑な手順をランダム化された代替手法に置き換えることで、d+1 エッジ彩色アルゴリズムの実装を簡素化すること。
• 他のグラフクラスやエッジ彩色問題に適用可能な一般化された再帰的エッジ彩色戦略を確立すること。

提案手法

• αβパスとファン構造（cファンおよびuファン）に基づく再帰的エッジ彩色戦略を提案し、エッジを体系的に再彩色する。
• 互いに素なパスやファンを処理するための Activate-Collection 手順を導入し、各アクティベートで少なくとも1つの新しいエッジが彩色されることを保証する。
• Gabow らのアルゴリズムの修正版を用い、分析を精緻化することで √log|V| 要因を排除し、|E|√|V| 時間を達成する。
• パスの反転を誘導するランダム選択を用いることで、複雑なサブルーチンを回避するランダム化バージョン、Random-Euler-Color を設計する。
• 三段階のプロセスを適用する：Candidate ファンの特定のための Build-Collection、それらの処理のための Activate-Collection、および彩色の整合性を維持する Disconnect-Vertex。
• ある色 α を欠いている頂点集合から7つの頂点が削除されるごとに、少なくとも1つのエッジが彩色されることを示す重要な補題を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単純グラフの d+1 エッジ彩色アルゴリズムの実行時間を、|E|√|V| log |V| よりも向上させることは可能か？
• RQ2 ランダム化アルゴリズムは、決定的バージョンと同等の漸近的実行時間で達成しつつ、著しく実装が簡単になるか？
• RQ3 異なるグラフクラスやエッジ彩色問題に適用可能な一般化された再帰的エッジ彩色戦略は存在するか？
• RQ4 従来のアルゴリズムで使用される複雑なサブルーチンを、性能を劣化させることなくランダム化された代替に置き換えることは可能か？

主な発見

• 決定的アルゴリズムである Euler-Color は、先行研究の分析を精緻化し、√log|V| 要因を排除することで、|E|√|V| 時間計算量を達成する。
• ランダム化アルゴリズムである Random-Euler-Color は、確率 1−e−poly(n) で |E|√|V| 時間で実行され、実装がはるかに簡単になる一方で、同じ実行時間性能を維持する。
• 主プロシージャーで使用されるアルゴリズム Color-Many は、ℓ が未彩色エッジ数であるとき、O(|E|) 時間で Ω(ℓ/d) 個のエッジを彩色する。
• Activate-Collection 手順は O(|E|) 時間で実行され、cファンやuファンが処理中に見逃されないことを保証する。
• ある色 α を欠いている頂点集合から7つの頂点が削除されるごとに、少なくとも1つのエッジが彩色されることを示す。
• 多重グラフの (2d−1)-エッジ彩色アルゴリズムは O(|E| log d) 時間で実行可能であり、コア戦略の汎用性を示している。