[論文レビュー] Fast and slow dynamics in a nonlinear elastic bar excited by longitudinal vibrations

Nicolas Favrie, Bruno Lombard+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2014

Ultrasonics and Acoustic Wave Propagation参考文献 33被引用数 30

ひとこと要約

本稿では、コンクリートや岩盤のような異種材料における高速非線形弾性および低速欠陥緩和ダイナミクスを結合する双曲型PDEモデルを提案する。新規の非線形ゼーナ粘弾性モデルと時間領域分割スキームを用い、実験的に観測された軟化・硬化挙動を定量的に再現する物理的に整合性のある双曲型定式化が主な貢献である。

ABSTRACT

Heterogeneous materials, such as rocks and concrete, have a complex dynamics including hysteresis, nonlinear elasticity and viscoelasticity. It is very sensitive to microstructural changes and damage. The goal of this paper is to propose a physical model describing the longitudinal vibrations of this class of material, and to develop a numerical strategy for solving the evolution equations. The theory relies on the coupling between two processes with radically-different time scales: a fast process at the frequency of the excitation, governed by nonlinear elasticity and viscoelasticity; a slow process, governed by the evolution of defects. The evolution equations are written as a nonlinear hyperbolic system with relaxation. A time-domain numerical scheme is developed, based on a splitting strategy. The numerical simulations show qualitative agreement with the features observed experimentally by Dynamic Acousto-Elastic Testing.

研究の動機と目的

• 非線形弾性、粘弾性、および低速緩和ダイナミクスを示す異種材料における縦波伝播を物理的に整合性のあるモデル化すること。
• 先行モデルにおいて欠陥濃度が1を超える物理的に不適切な状態が生じる問題を解消するため、平衡欠陥濃度の再定式化を行うこと。
• ストークス粘弾性モデルを、正しい双曲型性を保ちつつ線形弾性に自然に退化する非線形ゼーナモデルに置き換えること。
• 支配系の双曲型性と安定性を保証することで、損傷を伴う媒質における波動伝播の時間領域シミュレーションを可能にすること。
• 動的音響弾性試験における実験的観測結果（音響的軟化・硬化）との一致を確認すること。

提案手法

• 高速弾性応答と低速欠陥進化を緩和項によって結合する非線形双曲型系を定式化する。
• 微小変形極限で線形ゼーナに還元され、減衰がゼロのときには純粋な非線形弾性に退化する新しい非線形ゼーナモデルを導入する。
• 時間領域で高速弾性ダイナミクスと低速欠陥緩和を分離するための分割戦略を適用し、効率的な時間領域積分を可能にする。
• 音速の式に基づく双曲型性の条件を導出し、実数固有値と系の適切な定式化を保証する。
• バリデーションのため、周波数モード上で矩形求積を用いた数値評価を伴うフーリエ基盤の半解析的解を用いる。
• 欠陥生成と消滅のそれぞれに異なる緩和時間を有する応力依存の平衡状態を用いて、欠陥濃度の進化を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 異種材料における高速非線形弾性および低速欠陥緩和ダイナミクスを記述する物理的に整合性のあるモデルを構築するにはどうすればよいか？
• RQ2 欠陥濃度が0から1の間で有界に保たれるように、既存モデルに必要な修正は何か？
• RQ3 粘弾性モデルを再定式化することで、双曲型性を維持し、非線形弾性に適切に退化させるにはどうすればよいか？
• RQ4 異なる非線形弾性モデルに対して、得られる双曲型系が適切に定式化される条件は何か？
• RQ5 本モデルは、動的音響弾性試験で観測された実験的軟化・硬化をどの程度再現できるか？

主な発見

• 提案された非線形ゼーナモデルは、線形弾性への正しい退化を保証し、広い応力レベル範囲で双曲型性を維持する。
• モデル2は無条件に双曲型であるが、モデル3（ランダウ型）は条件付き双曲型であり、材料パラメータに依存する臨界ひずみ閾値 $ \varepsilon_c $ を有する。
• 再定式化された平衡欠陥濃度は、物理的に不適切な1を超える値の発生を防ぎ、物理的整合性を向上させる。
• 数値シミュレーションは、実験的動的音響弾性試験と定性的に一致しており、駆動源の停止後の徐々な軟化と回復を再現する。
• 時間領域分割スキームにより、高速および低速ダイナミクスを併存させる波動伝播の安定的かつ高精度なシミュレーションが可能になった。
• フーリエ変換と留数定理を用いて導出された半解析的解は、周波数ドメインでの明示的表現を有し、数値検証のベンチマークとしての役割を果たす。