[論文レビュー] Fast Approximate Quadratic Programming for Large (Brain) Graph Matching

Joshua T Vogelstein, John M. Conroy+7 more|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2011

Graph Theory and Algorithms参考文献 40被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、二次割り当て問題（QAP）の不定な緩和を用いることで、優れた精度と効率を達成する大規模グラフマッチングのための高速近似二次割り当て（FAQ）アルゴリズムを提案する。FAQはQAPLIBベンチマークの80％以上で最先端の手法を上回り、C. elegansのような大規模な脳接続プロファイルの有効なマッチングを可能にし、強力なスケーラビリティと理論的裏付けを有する。

ABSTRACT

Quadratic assignment problems (QAPs) arise in a wide variety of domains, ranging from operations research to graph theory to computer vision to neuroscience. In the age of big data, graph valued data is becoming more prominent, and with it, a desire to run algorithms on ever larger graphs. Because QAP is NP-hard, exact algorithms are intractable. Approximate algorithms necessarily employ an accuracy/efficiency trade-off. We developed a fast approximate quadratic assignment algorithm (FAQ). FAQ finds a local optima in (worst case) time cubic in the number of vertices, similar to other approximate QAP algorithms. We demonstrate empirically that our algorithm is faster and achieves a lower objective value on over 80% of the suite of QAP benchmarks, compared with the previous state-of-the-art. Applying the algorithms to our motivating example, matching C. elegans connectomes (brain-graphs), we find that FAQ achieves the optimal performance in record time, whereas none of the others even find the optimum.

研究の動機と目的

• 大規模なグラフ、特に脳接続プロファイルのスケーラビリティと精度のトレードオフを解決すること。
• 二次割り当て問題（QAP）の特殊なケースであるグラフマッチング問題（GMP）を効率的に解くアルゴリズムの開発。
• 解の忠実度をより良く保つ不定な緩和を用いることで、既存の近似QAPソルバーを改善すること。
• グラフ不変量を越えて、脳グラフの直接的な構造的比較を可能にし、接続ゲノミクスおよび神経疾患の分析に貢献すること。
• 神経科学およびビッグデータに応用可能な大規模グラフマッチングのスケーラブルでオープンソースのソリューションを提供すること。

提案手法

• FAQアルゴリズムは、従来の手法で用いられる凸緩和を避けることにより、グラフマッチング問題を不定な二次最適化問題に緩和する。
• 反復的に線形割り当て問題（LAP）を解くことで置換行列を更新する、交互最適化戦略を用いる。
• アルゴリズムの核となるのは、式（6）で表される緩和目的関数であり、これは不定であり、ランダムグラフモデル下で正当に証明可能である。
• 置換推定値を反復的に精緻化するためのパワー法に類似した更新手法を組み込み、グラフ隣接行列間の整合性を向上させる。
• 計算効率が高く、O(n³)の複雑度を有し、LAPサブルーチンの並列化にも適している。
• 一般化可能であり、シーディング頂点、頂点属性、スパース行列最適化への拡張が可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 QAPの不定な緩和は、凸緩和よりもグラフマッチングの近似解として優れた結果をもたらすか？
• RQ2 FAQアルゴリズムは、標準的なQAPベンチマークにおいて、既存の最先端のグラフマッチングアルゴリズムと比べて精度と速度で優れているか？
• RQ3 FAQは、C. elegansのような大規模な脳接続プロファイルを、高い忠実度と計算効率で効果的にマッチングできるか？
• RQ4 ランダムグラフモデル下で、不定な緩和アプローチに理論的保証はあるか？
• RQ5 FAQは、欠落頂点、エッジ誤り、異種のグラフサイズといった現実世界の課題に対応できるように拡張可能か？

主な発見

• FAQはQAPLIBベンチマークライブラリの80％以上で、以前の最先端手法よりも低い目的値を達成した。
• PATHや他の凸緩和に基づくソルバーと比較して、FAQはより高速かつ高精度であった。
• C. elegansの接続プロファイルマッチングにおいて、FAQは高品質なマッチングを効率的に達成し、接続ゲノミクスにおける実用性を示した。
• FAQで用いられる不定な緩和は、一般のランダムグラフモデル下で正しいアプローチであると理論的に裏付けられており、凸緩和とは異なり、より適切である。
• 外挿解析によると、標準のラップトップでn=100,000を処理するには約20年かかるため、さらなるスケーラビリティ向上の必要性が浮き彫りになった。
• FAQアルゴリズムはオープンソースのRパッケージigraphに統合され、MATLABコードも公開されており、広範な採用が可能である。