[論文レビュー] Fast Approximation Algorithms for Cut-based Problems in Undirected Graphs

Aleksander Mądry|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2010

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 31被引用数 14

ひとこと要約

本論文は、Räckeの無偏ルーティングとSpielman-Tengの超スパース化器にインspiredされたカットを保存するグラフ分解を用いて、無向グラフにおけるカットベースの問題の高速近似アルゴリズムを設計するための新規フレームワークを提示する。再帰的にカット構造を高確率で近似保存するj-ツリーを構築することで、スパースカットおよびバランスドセパレータに対してほぼ線形時間で多対数近似比を達成する。

ABSTRACT

We present a general method of designing fast approximation algorithms for cut-based minimization problems in undirected graphs. In particular, we develop a technique that given any such problem that can be approximated quickly on trees, allows approximating it almost as quickly on general graphs while only losing a poly-logarithmic factor in the approximation guarantee. To illustrate the applicability of our paradigm, we focus our attention on the undirected sparsest cut problem with general demands and the balanced separator problem. By a simple use of our framework, we obtain poly-logarithmic approximation algorithms for these problems that run in time close to linear. The main tool behind our result is an efficient procedure that decomposes general graphs into simpler ones while approximately preserving the cut-flow structure. This decomposition is inspired by the cut-based graph decomposition of Räcke that was developed in the context of oblivious routing schemes, as well as, by the construction of the ultrasparsifiers due to Spielman and Teng that was employed to preconditioning symmetric diagonally-dominant matrices.

研究の動機と目的

• 無向グラフにおけるカットベースの最小化問題の高速近似を一般化する手法を開発すること。
• 木ベースの近似アルゴリズムを一般グラフに拡張し、近似品質に多対数の損失しか与えないようにすること。
• スパースカットおよびバランスドセパレータ問題の効率的近似を可能にするカットを保存するグラフ分解を設計すること。
• スパースカットおよびバランスドセパレータといった基本的なグラフ分割問題に対して、ほぼ線形時間で多対数近似比を達成するアルゴリズムを実現すること。
• Räckeのカットベースの分解とSpielman-Tengの超スパース化器の枠組みを統合し、スペクトル的およびフローに基づく既存手法の長所を組み合わせた新規な分解フレームワークによって、それらを統一的かつ改善すること。

提案手法

• カットを保存するツリーを構築する再帰的手順、Find Cut-preserving Treesを用いて、入力グラフのカット構造を近似的に保存するj-ツリーを構築する。
• まず、カット容量を保存しつつエッジ数を削減するため、入力グラフをスパース化する。
• スパース化されたグラフを、単純なグラフ（j′-ツリー）の凸結合として表現するために、定理3.6のt′-スパース分解を適用する。
• この分解からランダムにグラフHをサンプリングする。Hがj-ツリーであればそれを返却する。そうでない場合は、Hのコアに対してtを2乗して増加させ、再帰的に処理を行う。
• 再帰的段階では、コアからのj-ツリーと元のグラフのエンベロープを組み合わせることで、全グラフのカットを保存するj-ツリーを構築する。
• 繰り返しの実行によって高確率でのカット保存を保証し、集中限界を用いて成功確率を向上させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の無向グラフにおけるカットベースの問題は、木におけるものと同等に効率的に近似可能であり、近似品質に多対数の損失しか与えないだろうか？
• RQ2 カットフローを保存しつつ、高速な近似アルゴリズムを可能にするグラフ分解を設計することは可能だろうか？
• RQ3 Räckeのカットベースの分解とSpielman-Tengの超スパース化器の枠組みを統合することで、スパースカットおよびバランスドセパレータのためのより高速なアルゴリズムが得られるだろうか？
• RQ4 木のような構造を代理として用いる場合、カットベースの問題における近似比と実行時間のトレードオフは何か？
• RQ5 t値を増加させながら再帰的分解を行うことで、問題サイズを縮小しつつカット保存を維持する方法は何か？

主な発見

• カット保存の近似比は (log(1+o(1))T n) であり、T ≤ max{⌈log(logt(n/j) + 1)⌉, 1} かつ T ≤ k（選択されたパrameter）を満たす。
• 実行時間は eO(m + 2k n^{1 + (1-l)/(2k-1)} log U) であり、lを適切に選べばほぼ線形時間となる。
• このフレームワークは、nl-ツリーの集合を生成し、確率1 - 1/n²で (log(1+o(1))k n)-カットを保存する。
• 得られたj-ツリーの容量比は n^{(2+o(1))k}U で有界であり、多項式的 blown-up を保証する。
• 一般化されたスパースカットおよびバランスドセパレータ問題に対して、ほぼ線形時間で多対数近似比を達成する。
• 従来のスペクトル的およびフローに基づく手法に比べ、グラフの導通性に依存しないようにし、より良い実行時間と近似保証を達成する。