[論文レビュー] Fast Backprojection Techniques for High Resolution Tomography

Nikolay Koshev, Elias S. Helou+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2016

Medical Imaging Techniques and Applications参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、計算複雑性を低減するために対数極座標および準極座標系を用いた高分解能トモグラフィーのための新規な高速バックプロジェクション手法を提案する。バックプロジェクション演算子を円周積分の観点から再表現し、対数極座標におけるデルタ関数の性質を活用することで、O(N² log N)の複雑性を達成し、従来のO(N³)手法と比較して大規模なシンクロトロントモグラフィー・データの再構成を顕著に高速化する。

ABSTRACT

Fast image reconstruction techniques are becoming important with the increasing number of scientific cases in high resolution micro and nano tomography. The processing of the large scale three-dimensional data demands new mathematical tools for the tomographic reconstruction task because of the big computational complexity of most current algorithms as the sizes of tomographic data grow with the development of more powerful acquisition hardware and more refined scientific needs. In the present paper we propose a new fast back-projection operator for the processing of tomographic data and compare it against other fast reconstruction techniques.

研究の動機と目的

• シンクロトロン画像における高分解能トモグラフィー再構成の計算負荷の増大に対処する。
• 標準的なバックプロジェクションのO(N³)の複雑性を、代替座標系における演算子の再定義によって低減する。
• 大規模3Dトモグラフィー・データに適した数学的に厳密かつ計算効率の良いバックプロジェクション手法を開発する。
• 画像品質の損失なしに、マイクロおよびナノスケールトモグラフィーの再構成を高速化する。

提案手法

• 幾何的対称性を活用するため、準極座標および対数極座標を用いてバックプロジェクション演算子を再定式化する。
• 逆ラドン変換カーネルを用いて、原点および点xを通る円周を経由する積分としてバックプロジェクションを表現する。
• 対数極座標におけるデルタ関数の恒等式を活用し、積分を1次元の根の特定および評価ステップに簡略化する。
• ディラックのデルタ関数のふるい性質を用いて、対数極座標におけるバックプロジェクション画像の閉形式表現を導出する。
• 数値的統合を効率的に行うために、シンログラムデータを対数極座標表現に変換する座標変換を適用する。
• シェップ＝ローガン・ファントムを用いて手法を検証し、デカルト座標における標準的バックプロジェクションと性能を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バックプロジェクション演算子は対数極座標に再表現可能であり、計算複雑性を低減できるか？
• RQ2 円周経路を用いた積分が、再構成速度を向上させつつ正確性を保持できるか？
• RQ3 点光源に対する対数極座標におけるバックプロジェクション画像の解析的形は何か？
• RQ4 本手法は、高分解能トモグラフィーにおける従来のO(N³)バックプロジェクションと比較して、速度および正確性において優れているか？
• RQ5 原点および画像点を通る円周を経由するバックプロジェクションの幾何的解釈を、アルゴリズム最適化に活用できるか？

主な発見

• 提案手法はO(N² log N)の計算複雑性を達成し、標準的なO(N³)の複雑性と比較して顕著な改善を示す。
• 対数極座標における解析的解は、バックプロジェクション画像の閉形式表現をもたらす：$ b(e^{ ho}m{ u}_{ heta}) = \frac{1}{\sqrt{(\cos(\theta-\phi)e^{\rho})^{2} + (e^{A} - \sin(\theta-\phi)e^{\rho})^{2}}} $。
• バックプロジェクションの寄与が原点および画像点を通る円周から生じることを幾何的性質として活用し、効率的な数値的統合を可能にする。
• 準極座標および対数極座標の使用により、高分解能設定におけるラドン変換の逆変換のより自然で効率的な表現が可能になる。
• 導出された式により、最適化された座標変換およびデルタ関数統合を通じて、必要な演算数を削減し、再構成を高速化できる。
• シェップ＝ローガン・ファントムを用いた検証により、計算負荷の低減を伴いながらも正確な再構成が実現された。