[論文レビュー] Fast Bayesian Optimal Experimental Design for Seismic Source Inversion

Quan Long, Mohammad Motamed+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2015

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、二重ループの情報利得の期待値を単一ループの積分に削減するためにラプラシアン近似を活用することで、計算コストが非常に高い二重ループの期待値を単一ループの積分に削減する、地震源逆問題における高速なベイズ最適実験設計手法を提示する。この手法はヘシアン行列が測定時間および受信点数に比例することを利用し、スパース・クアドラチャーや有限差分を用いて、最適な受信点配置と数の効率的計算を可能にする。2次元問題における数値的妥当性が確認されている。

ABSTRACT

We develop a fast method for optimally designing experiments in the context of statistical seismic source inversion. In particular, we efficiently compute the optimal number and locations of the receivers or seismographs. The seismic source is modeled by a point moment tensor multiplied by a time-dependent function. The parameters include the source location, moment tensor components, and start time and frequency in the time function. The forward problem is modeled by elastodynamic wave equations. We show that the Hessian of the cost functional, which is usually defined as the square of the weighted L2 norm of the difference between the experimental data and the simulated data, is proportional to the measurement time and the number of receivers. Consequently, the posterior distribution of the parameters, in a Bayesian setting, concentrates around the "true" parameters, and we can employ Laplace approximation and speed up the estimation of the expected Kullback-Leibler divergence (expected information gain), the optimality criterion in the experimental design procedure. Since the source parameters span several magnitudes, we use a scaling matrix for efficient control of the condition number of the original Hessian matrix. We use a second-order accurate finite difference method to compute the Hessian matrix and either sparse quadrature or Monte Carlo sampling to carry out numerical integration. We demonstrate the efficiency, accuracy, and applicability of our method on a two-dimensional seismic source inversion problem.

研究の動機と目的

• 繰り返し偏微分方程式（PDE）の解法が困難である、地震源逆問題におけるベイズ最適実験設計の高い計算コストに対処すること。
• 地震観測における地震計の最適な数および空間的配置を決定するスケーラブルな手法を開発すること。
• ラプラシアン近似を用いて二重ループのモンテカルロ積分を単一ループに削減することで、期待情報利得の効率的計算を可能とすること。
• 地震源パラメータ（例：モーメントテンソル、位置、時間関数など）の広い動的範囲に起因するパラメータスケーリングの問題を処理すること。
• 現実的な波動伝播モデルを用いた2次元地震源逆問題において、この手法の妥当性を検証すること。

提案手法

• 目的関数のヘシアン行列が受信点数および測定時間に比例することを活用し、事後分布の集中を実現し、妥当なラプラシアン近似を可能にする。
• ヘシアン行列の条件数を改善し、複数のオーダーにわたるパラメータの大きさを有する空間においても数値的安定性を確保するため、パrameter空間にスケーリング行列を適用する。
• MAP推定値における負の対数事後分布のヘシアン行列を、2階微分差分法を用いて計算する。
• スパース・クアドラチャーやモンテカルロサンプリングを用いて、パラメータ空間における近似された期待情報利得の数値的積分を実行する。
• 再スケーリングされた事後分散共分散行列を計算するため、$N_{\theta}+2$ 個の前方問題（1つの双対問題を含む）を解く。この行列は情報利得の近似に組み込まれる。
• 再スケーリングされた事後分散共分散行列を関数として情報利得を導出し、実験設計の効率的最適化を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 繰り返し不能で時間に依存する地震源逆問題に、ラプラシアン近似を効果的に適用できるか。これにより、最適実験設計の高速化が達成できるか。
• RQ2 目的関数のヘシアン行列は受信点数および測定時間に対してどのようにスケーリングされるか。このスケーリングを計算効率の向上に活用できるか。
• RQ3 パラメータの大きさの差がヘシアン行列の条件数に与える影響は何か。ベイズ実験設計において、この影響をどのように軽減できるか。
• RQ4 スパース・クアドラチャーやモンテカルロサンプリングを用いることで、地震逆問題における期待情報利得の推定にかかる計算コストをどの程度削減できるか。
• RQ5 提案手法は、2次元地震源逆問題において、最適な受信点配置を特定するのにどの程度有効であるか。

主な発見

• 目的関数のヘシアン行列は、受信点数および測定時間の両方に対して比例しており、事後分布の集中を引き起こし、ラプラシアン近似の正当性を裏付ける。
• 受信点数や記録時間の増加に伴い、事後分布は真のパラメータの周囲に集中し、近似誤差が小さくなる。
• スケーリング行列の使用により、ヘシアン行列の条件数が効果的に制御され、数値的安定性および最適化の収束性が向上する。
• 二重ループの期待情報利得を単一ループの積分に削減することで、従来のモンテカルロ推定器と比較して、計算コストを顕著に削減できる。
• 2次元地震源逆問題における数値的結果から、この手法の効率性、正確性、現実的な波動伝播モデルへの適用可能性が確認された。
• 期待情報利得は$N_{\theta}+2$ 個の前方問題の解法を用いて効率的に計算可能であり、高次元パラメータ空間へのスケーラビリティを実現している。