[論文レビュー] Fast Biclustering by Dual Parameterization

Pål Grønås Drange, Felix Reidl+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2015

Constraint Satisfaction and Optimization参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、目標となるコンponents数（p）と編集距離（k）を含む二重パラメータ化を導入することで、Bicluster Editingおよびその一般化問題に対するサブ指数時間パラメータ化アルゴリズムを提示する。両パラメータを同時に考慮した場合、p-Starforest Editing や p-Bicluster Editing といった問題は時間 2^{O(√(pk))} · poly(n) で解けることが示され、標準的なパラメータ化に比べて顕著な改善が得られ、ETHのもとでサブ指数時間の可解性を達成するにはこの二重パラメータ化が必要であることが証明されている。

ABSTRACT

We study two clustering problems, Starforest Editing, the problem of adding and deleting edges to obtain a disjoint union of stars, and the generalization Bicluster Editing. We show that, in addition to being NP-hard, none of the problems can be solved in subexponential time unless the exponential time hypothesis fails. Misra, Panolan, and Saurabh (MFCS 2013) argue that introducing a bound on the number of connected components in the solution should not make the problem easier: In particular, they argue that the subexponential time algorithm for editing to a fixed number of clusters (p-Cluster Editing) by Fomin et al. (J. Comput. Syst. Sci., 80(7) 2014) is an exception rather than the rule. Here, p is a secondary parameter, bounding the number of components in the solution. However, upon bounding the number of stars or bicliques in the solution, we obtain algorithms which run in time $2^{5 \sqrt{pk}} + O(n+m)$ for p-Starforest Editing and $2^{O(p \sqrt{k} \log(pk))} + O(n+m)$ for p-Bicluster Editing. We obtain a similar result for the more general case of t-Partite p-Cluster Editing. This is subexponential in k for fixed number of clusters, since p is then considered a constant. Our results even out the number of multivariate subexponential time algorithms and give reasons to believe that this area warrants further study.

研究の動機と目的

• グラフ編集問題がbiclusterおよびstarforest構造へ向かってサブ指数時間アルゴリズムを有するかどうかを調査すること。
• 解における連結成分数（p）を制限することで、サブ指数時間パラメータ化アルゴリズムが可能かどうかを特定すること。
• 二重パララメータ化（pとk）がサブ指数時間解法に不可欠であることを示す下界を確立すること。
• これらの結果をより一般化された t-Partite p-Cluster Editing 問題へと拡張すること。
• 一般グラフ上でトポロジカル制約なしに、このような問題がサブ指数時間アルゴリズムを有するかどうかという未解決の問いを解消すること。

提案手法

• pとkの二重パラメータ化（pはコンponents数、kはエッジ編集数）を用いた p-Starforest Editing および p-Bicluster Editing 問題を提示・分析する。
• スターフォレストおよびバイクリー構造の構造的制約を活用した分岐アルゴリズムを設計し、p-Starforest Editing の実行時間を 2^{5√(pk)} + O(n+m) に抑える。
• 入力グラフを O(p(2k+1) + 2k) のサイズのカーネルに縮小するカーネル化技術を用いる。このサイズはパラメータの積によって上限が与えられる。
• Multicolored Regular Independent Set 問題への還元を用いて、pのみでパラメータ化した場合のW[1]-困難性を証明し、pが単独でパラメータとして使用できないことを示す。
• ETHに基づく下界を確立し、二重パラメータ化なしではサブ指数時間アルゴリズムが不可能であることを証明する。
• 変数ゲージおよび節ゲージのゲージ構築を用いて 3-SAT を Bicluster Editing に還元し、サブキューブグラフ上でもNP完全性を証明するとともに、タイトな編集予算を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 目標コンponents数（p）が制限されている場合、Bicluster Editing や関連問題に対してサブ指数時間アルゴリズムが達成可能か。
• RQ2 サブ指数時間解法のためには二重パラメータ化（pとk）が必須であるか、それともkのみで十分か。
• RQ3 p-Cluster Editing にサブ指数時間アルゴリズムが存在するならば、t-Partite p-Cluster Editing といったより一般的なグラフクラスに対しても同様に成立するか。
• RQ4 Bicluster Editing は O(p + k) の線形カーネルを有するか、それとも現在の O(p(2k+1) + 2k) のカーネルサイズが最適か。
• RQ5 一般グラフ上でトポロジカル制約なしに、自然なグラフ問題がサブ指数時間パラメータ化時間アルゴリズムを有するか。

主な発見

• p-Starforest Editing は O(2^{5√(pk)} + n + m) の時間で解ける。pが固定されている場合、これはkに関してサブ指数時間である。
• p-Bicluster Editing は 2^{O(p√k log(pk))} + O(n + m) の実行時間でサブ指数時間アルゴリズムを有し、pが固定されている場合にkに関してサブ指数時間である。
• 問題はサブキューブグラフ上でもNP完全のままであり、ETHが成り立たない限りサブ指数時間アルゴリズムは存在しない。
• p-Cluster Editing はpのみでパラメータ化した場合、W[1]-困難である。これはpが単独で効率的アルゴリズムのパラメータとして使用できないことを示唆する。
• 二重パラメータ化（p, k）は本質的である。ETHのもとでは、この二重パラメータ化なしではサブ指数時間アルゴリズムは存在しない。
• 結果は一般化された t-Partite p-Cluster Editing 問題へも拡張可能であり、二重パラメータ化がこの広範な設定でもサブ指数時間アルゴリズムを可能にすることが示された。