[論文レビュー] Fast Classical and Quantum Algorithms for Online $k$-server Problem on Trees

Ruslan Kapralov, Kamil Khadiev+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 30被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、$O(n\log n)$の事前処理と、リクエストあたり$O(k^2 + k\log n)$の時間で動作する、木構造上のオンライン $k$-サーバー問題に対する古典的アルゴリズムを提示する。これは、リクエストあたり$O(n)$を要するナイーブな実装と比べて顕著な改善である。さらに、文字列パスへの量子オракルアクセスを用いることで、リクエストあたり$O(k^2\sqrt{n}\log n)$の時間で動作する量子アルゴリズムを導入し、リクエスト数が$o(\sqrt{n}/k^2)$未満のとき、量子高速化を達成する。

ABSTRACT

We consider online algorithms for the $k$-server problem on trees. Chrobak and Larmore proposed a $k$-competitive algorithm for this problem that has the optimal competitive ratio. However, a naive implementation of their algorithm has $O(n)$ time complexity for processing each query, where $n$ is the number of nodes in the tree. We propose a new time-efficient implementation of this algorithm that has $O(n\log n)$ time complexity for preprocessing and $O\left(k^2 + k\cdot \log n ight)$ time for processing a query. We also propose a quantum algorithm for the case where the nodes of the tree are presented using string paths. In this case, no preprocessing is needed, and the time complexity for each query is $O(k^2\sqrt{n}\log n)$. When the number of queries is $o\left(\frac{\sqrt{n}}{k^2\log n} ight)$, we obtain a quantum speed-up on the total runtime compared to our classical algorithm. We also give a simple quantum algorithm to find the first marked element in a collection of $m$ objects, that works even in the presence of two-sided bounded errors on the input oracle. It has worst-case complexity $O(\sqrt{m})$. In the particular case of one-sided errors on the input, it has expected time complexity $O(\sqrt{x})$ where $x$ is the position of the first marked element. Compare with previous work, our algorithm can handle errors in the input oracle.

研究の動機と目的

• 木構造上の $k$-サーバー問題に対する Chrobak-Larmore の $k$-competitive アルゴリズムのナイーブな実装の非効率性を是正すること。この実装はリクエストあたり $O(n)$ の時間を要する。
• LCA および二分上り上げ技術を用いた時間効率の良い古典的アルゴリズムを設計し、リクエストあたりの計算量を $O(k^2 + k\log n)$ に低減すること。
• 木構造が文字列パスによって表現される場合に、$k$-サーバー問題のための量子アルゴリズムを開発し、部分線形なクエリ計算量を実現すること。
• 二面的有界誤差を伴うオラクルを扱う量子探索の拡張を図り、従来の完全なオラクルを仮定した研究を拡張すること。
• 量子アルゴリズムが古典的アルゴリズムよりも総合的な実行時間で高速化を達成する条件を確立すること。

提案手法

• 古典的アルゴリズムは、二分上り上げを用いたLCA計算による事前処理を用い、素早い祖先および距離クエリを可能にする。
• LCA が $O(\log n)$、MoveUp 操作が $O(1)$ で実行可能なデータ構造を活用した、Chrobak-Larmore アルゴリズムの変種を採用する。
• 量子アルゴリズムでは、古典的LCAの代わりに、振幅増幅を用いて二つの文字列パスの最長共通接頭部を計算する量子サブルーチン QLCP を用いる。
• QLCP は、二面的有界誤差を持つオラクルでさえも動作する、堅牢な量子探索アルゴリズムに基づいている。
• 各呼び出しの誤差確率を $O(1/n^3)$ にまで低減するために、FindFirst を繰り返し呼び出し、多数決による処理を実施する。
• 全体の量子計算量はリクエストあたり $O(k^2\sqrt{n}\log n)$ であり、文字列パスオラクルを使用する場合には事前処理を必要としない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 木構造上の Chrobak-Larmore の $k$-competitive アルゴリズムを、リクエストあたりの計算量が部分線形となるように実装することは可能か？
• RQ2 木構造が文字列パスによって表現され、オラクルアクセスが可能である場合に、$k$-サーバー問題に対して量子高速化を達成することは可能か？
• RQ3 オラクルが二面的有界誤差を持つ場合に、最初のマーキング要素を探索するための量子探索をどのように適合させられるか？
• RQ4 リクエスト数が少ない場合に、量子アルゴリズムが古典的アルゴリズムに対して総合的な実行時間の高速化を達成できるか？
• RQ5 事前処理を一切行わず、パス情報への量子オラクルアクセスのみに依存する量子アルゴリズムを設計することは可能か？

主な発見

• 古典的アルゴリズムは、リクエストあたりの計算量を $O(n)$ から $O(k^2 + k\log n)$ に低減し、事前処理時間は $O(n\log n)$ である。
• 量子アルゴリズムは、文字列パスへの量子オラクルアクセスのみを用いて、リクエストあたり $O(k^2\sqrt{n}\log n)$ の時間で処理を実行し、誤差確率は $O(1/n)$ である。
• リクエスト数が $o(\sqrt{n}/k^2)$ 未満のとき、量子アルゴリズムは古典的アルゴリズムよりも総合的な実行時間で高速化を達成する。
• 二面的有界誤差がある条件下でも、$O(\sqrt{m})$ の最悪計算量で最初のマーキング要素を探索する新しい量子探索アルゴリズムを提案する。
• 量子LCPサブルーチン QLCP は、$O(\sqrt{m}\log m)$ の時間で動作し、誤差確率は $O(1/m^3)$ である。これにより、木構造内のパス比較が効率的に可能になる。
• 提示された量子アルゴリズムは、事前処理を一切必要としないため、動的またはストリーミング環境における木構造の処理に適している。