[論文レビュー] Fast Clustering with Lower Bounds: No Customer too Far, No Shop too Small

Alina Ene, Sariel Har-Peled+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2013

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 24被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、固定次元ユークリッド空間におけるLowerBoundedCenter（LBC）問題に対して、O(n log n)時間で定数倍近似可能であるアルゴリズムを提示している。r-netとwell-separated pair decomposition（WSPD）を用いて、(4+ε)-近似が達成可能である。LBC問題がAPX-hardであることを証明し、平面内でも1.8−ε未満の近似は不可能であることが示され、近似可能性の上限がタイトであることが確立された。

ABSTRACT

We study the \LowerBoundedCenter (\lbc) problem, which is a clustering problem that can be viewed as a variant of the \kCenter problem. In the \lbc problem, we are given a set of points P in a metric space and a lower bound λ, and the goal is to select a set C \subseteq P of centers and an assignment that maps each point in P to a center of C such that each center of C is assigned at least λpoints. The price of an assignment is the maximum distance between a point and the center it is assigned to, and the goal is to find a set of centers and an assignment of minimum price. We give a constant factor approximation algorithm for the \lbc problem that runs in O(n \log n) time when the input points lie in the d-dimensional Euclidean space R^d, where d is a constant. We also prove that this problem cannot be approximated within a factor of 1.8-εunless P = \NP even if the input points are points in the Euclidean plane R^2.

研究の動機と目的

• 低次元ユークリッド空間におけるLowerBoundedCenter（LBC）問題に対して、高速で定数倍近似可能なアルゴリズムを設計すること。
• LBCの近似可能性のタイトな境界を確立し、P=NPでない限り1.8−ε未満の近似が不可能であることを示すこと。
• 各センターが最小限のクライアント数を処理しなければならない現実のクラスタリング状況を扱い、運用可能性を保証すること。
• r-netやwell-separated pair decomposition（WSPD）といった幾何的ツールを、下限制約付きのクラスタリングに応用すること。
• 下限付きクラスタリングの変種の複雑さの地図を調査し、上限付きの拡張可能性を検討すること。

提案手法

• 固定次元ユークリッド空間においてO(n log n)時間で計算可能なr-netを、基盤となるデータ構造として用いる。
• well-separated pair decomposition（WSPD）を用いて、距離とクラスタ割り当てを効率的に近似する。
• r-net構造に従う貪欲なクラスタリング戦略を用い、各センターが少なくともλ個の点を処理することを保証する。
• 点集合の階層的分解を用いて、近似比を(4+ε)以内に制限する。
• PRPOT3SATからの多項式時間の構成を用いてLBC問題を意思決定問題に還元し、難易度の証明を可能にする。
• ディスクの被覆と三角形幾何学を用いた幾何的議論により、ガジェットにおける信号反転が直径≥√13/2のディスクを必要とすることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定次元ユークリッド空間において、LowerBoundedCenter問題はO(n log n)時間で定数倍近似可能か？
• RQ2 LBC問題の最良の近似比は何か？また、その値はタイトか？
• RQ3 LBC問題はAPX-hardか？また、ユークリッド平面内での近似不可能性の閾値は何か？
• RQ4 r-netやWSPDといった幾何的技術は、下限制約付きクラスタリングに効果的に適応可能か？
• RQ5 クラスタサイズに下限と上限の両方を課した場合、LBCの複雑さはどのように変化するか？

主な発見

• 本稿では、定数dに対してℝ^dにおけるLowerBoundedCenter問題に対して、O(n log n)時間の(4+ε)-近似アルゴリズムを提示している。
• 問題がAPX-hardであることが証明され、P=NPでない限り1.8−ε未満の近似は不可能であることが示され、平面内でも同様である。
• 近似不可能性の結果はPRPOT3SATからの還元により確立され、直径<√13/2の解が存在するための必要十分条件が、論理式の充足可能性と等価であることが示された。
• アルゴリズムはr-netの効率的計算と、WSPDを用いた下限制約下での距離および割り当ての保証を基盤としている。
• ワイヤーからクランプへの接続における信号反転を可能にするために、ディスクの直径に√13/2の下限が必要であり、これは難易度証明において極めて重要である。
• 上界が下界の2倍以上である限り、下限と上限の両方を含む場合にも本手法は一般化可能である。