[論文レビュー] Fast Computation of Empirically Tight Bounds for the Diameter of Massive Graphs

Clémence Magnien, Matthieu Latapy+1 more|ArXiv.org|Apr 17, 2009

Complex Network Analysis Techniques参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、巨大グラフの直径に対する経験的にタイトな上限と下限を計算するための高速で実用的なアプローチを提示する。理論的な境界のタイトさの保証はないが、実験では境界がしばしばほぼ正確—場合によっては完全に一致—するため、従来の手法では処理が困難な巨大グラフに対しても、直径の高精度な推定が可能になる。

ABSTRACT

The diameter of a graph is among its most basic parameters. Since a few years, it moreover became a key issue to compute it for massive graphs in the context of complex network analysis. However, known algorithms, including the ones producing approximate values, have too high a time and/or space complexity to be used in such cases. We propose here a new approach relying on very simple and fast algorithms that compute (upper and lower) bounds for the diameter. We show empirically that, on various real-world cases representative of complex networks studied in the literature, the obtained bounds are very tight (and even equal in some cases). This leads to rigorous and very accurate estimations of the actual diameter in cases which were previously untractable in practice.

研究の動機と目的

• 巨大な実世界のグラフの直径を計算または推定するための効率的で正確な手法の不足に対処すること。
• BFS や行列乗算による正確な直径計算の計算量と記憶容量の膨大さを克服すること。
• 計算コストが低くても経験的に非常にタイトな、厳密な境界（上限および下限）を提供すること。
• 従来のアルゴリズムでは処理が困難だったケースにおいて、正確な直径の決定またはほぼ正確な推定を可能にすること。

提案手法

• 1回のBFSから得られる頂点の偏心度を用いて、自明な下限と上限を計算する：ecc(v) ≤ D ≤ 2·ecc(v)。
• ダブルスイープ法を適用する：頂点 u からBFSを実行し、その後 u からの最大距離にある頂点から再びBFSを実行することで、自明な手法よりも良い下限が得られる。
• 選択された頂点からBFSツリーを構築し、その直径を測定することで、常に D 以上となるツリーの上限を計算する。
• ツリーの上限の2つのバリエーションを用いる：ランダムな頂点選択と、最高次数の頂点選択により、境界の品質を向上させる。
• ダブルスイープ法およびツリーの上限手法を複数回繰り返し実行し、境界の分布を収集し、経験的性能を評価する。
• 複数のヒューリスティクスの結果を統合することで、境界が収束した場合には、高い信頼性で実際の直径を推定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単純で高速なBFSに基づくヒューリスティクスは、巨大な実世界のグラフの直径に対して経験的にタイトな境界を生成できるか？
• RQ2 実際の応用において、ダブルスイープ法およびツリーに基づく上限手法は、自明な境界よりも優れているか？
• RQ3 実世界の複雑ネットワークにおいて、上限と下限の境界はどの程度収束するか？
• RQ4 理論的保証がなくても、これらの手法は実際の応用で正確な直径を特定できるか？

主な発見

• ダブルスイープ法による下限は、テストされたすべてのグラフにおいて自明な下限を著しく上回り、より良い推定が得られる確率が高くなる。
• ランダムなツリー上限と最高次数のツリー上限の両方とも、自明な上限を上回るが、後者はしばしばよりタイトな結果をもたらす。
• ip グラフでは、ダブルスイープ法による下限とツリーの上限が両方とも 9 に収束し、正確な直径が特定された。
• p2p グラフの 67% のケースで、ダブルスイープ法による下限が 7 を超えており、強い経験的性能が示された。
• ほとんどのグラフにおいて、最高次数のツリー上限がランダムなツリー上限を上回ったが、ウェブグラフでは頻度の観点から逆の傾向が見られた。
• 複数のケースで上限と下限が一致しており、全探索を実行せずに正確な直径が得られた。