[論文レビュー] Fast Computation of Many-Body Entanglement

Johnnie Gray|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、大規模な量子多体系における混合状態のエンタングルメント尺度である対数負エントロピーを効率的に計算するための手法として、テンソルネットワーク確率的ランチョス積分法（TNSLQ）を提案する。部分的に転置された密度行列の遅延評価によるテンソルネットワーク表現と確率的ランチョス積分法を組み合わせることで、密度行列が密に表現された状態では最大30キュービット、行列積状態（MPS）では有効な結合次元が約180まで対応可能となり、従来の約15キュービットの限界を著しく超える。

ABSTRACT

Mixed state entanglement measures can act as a versatile probes of many-body systems. However, they are generally hard to compute, often relying on tricky optimizations. One measure that is straightforward to compute is the logarithmic negativity, yet done naively even this is still limited to small system sizes. Here, we introduce a method to compute the logarithmic negativity for arbitrary subsystems of a densely represented state, as well as block subsystems of matrix product states. The method combines lazily evaluated, tensor network representations of the partially transposed density matrix with stochastic Lanczos quadrature, and is easily extendible to other quantities and classes of many-body states. As examples, we compute the entanglement within random pure states for density matrices of up to 30 qubits, explore scrambling in a many-body quench, and match the results of conformal field theory in the ground-state of the Heisenberg model for density matrices of up to 1000 spins. An implementation of the algorithm has been made available in the open-source library extit{quimb}.

研究の動機と目的

• 大規模な多体量子系における混合状態のエンタングルメント尺度（例：対数負エントロピー）を計算する際の計算ボトルネックを克服すること。
• 直接的な計算による立方則スケーリングの問題を解消し、実用的用途が約15キュービットに制限される現状を改善すること。
• スケーラブルで、正確かつ一般化可能な手法を、純粋状態の密な表現および行列積状態（MPS）の両方に適用可能であるように開発すること。
• 量子クエンチや conformal field theory（CFT）の基底状態といった複雑な状況におけるエンタングルメントの研究を可能にすること。

提案手法

• 部分的に転置された密度行列を暗黙的に表現するためのテンソルネットワーク表現を用い、明示的な構築と保存を回避する。
• 対数負エントロピーを定義する部分的に転置された密度行列のトレースノルムを推定するために、確率的ランチョス積分法（SLQ）を適用する。
• 縮約密度行列をテンソルネットワークによって定義される線形作用素とみなすことにより、スぺクトル和の効率的推定が可能になる。
• 行列積状態（MPS）の場合、SLQの前段階で圧縮処理を施し、有効な結合次元を低減させ、計算の実行可能性を維持する。
• オープンソースの quimb ライブラリに実装されており、単精度演算を用いた並列処理およびGPUアクセラレーションをサポートする。
• ヴォイナ・ネウマンエントロピー や 相互情報量 といった他のエンタングルメント関連量に対しても拡張可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 直接的な方法が約15キュービットに制限される中で、大規模な量子状態の部分系に対して、対数負エントロピーを効率的に計算できるか。
• RQ2 テンソルネットワーク表現をどのように活用して、部分的に転置された密度行列の明示的保存を回避できるか。
• RQ3 確率的ランチョス積分法が、大規模な混合状態に対して、正確で誤差が有界なトレースノルム推定をどの程度達成できるか。
• RQ4 高い結合次元を持つ行列積状態（MPS）に対しても、精度と効率を維持したままこの手法を適用できるか。
• RQ5 系のサイズと純度は、確率的推定プロセスの誤差境界にどのような影響を及けるか。

主な発見

• 本手法により、密に表現された純粋状態の密度行列に対して最大30キュービットの対数負エントロピーの計算が可能となり、実用的限界が約15キュービットから拡張された。
• 行列積状態（MPS）では、結合次元が約180まで対応可能であり、開放的境界条件または周期的境界条件を有するより大きな系におけるエンタングルメントの研究が可能になった。
• 対数負エントロピー推定の誤差は、系のサイズに依存しない定数で有界であり、良好に制御されており、分散も容易に追跡可能である。
• 典型的な物理系では、精度が0.1%〜1%の範囲内に収まり、高精度な研究に適している。
• アルゴリズムは並列処理に強く、GPUアクセラレーションを備えており、単精度演算を用いた効率的な計算が可能である。
• 本手法は、ランダムな純粋状態、量子クエンチ、ヘイゼンベルク模型の基底状態におけるエンタングルメントの研究に成功に適用され、CFTの予測と一致した。