[論文レビュー] Fast Computation of Partial Fourier Transforms

Lexing Ying, Sergey Fomel|ArXiv.org|Feb 12, 2008

Scientific Research and Discoveries参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、和の領域の多スケール分解を活用し、1次元および2次元における部分的フーリエ変換を高速に計算する2つのアルゴリズムを提示する。1次元では分数フーリエ変換を、2次元ではバタフライアルゴリズムを各成分に適用する。1次元アルゴリズムは正確で$O(N\log^2 N)$の複雑度を有し、2次元バージョンは近似的だが正確で$O(N^2\log^2 N)$の複雑度を有し、自由度に対するほぼ線形スケーリングを達成する。

ABSTRACT

We introduce two efficient algorithms for computing the partial Fourier transforms in one and two dimensions. Our study is motivated by the wave extrapolation procedure in reflection seismology. In both algorithms, the main idea is to decompose the summation domain of into simpler components in a multiscale way. Existing fast algorithms are then applied to each component to obtain optimal complexity. The algorithm in 1D is exact and takes $O(N\log^2 N)$ steps. Our solution in 2D is an approximate but accurate algorithm that takes $O(N^2 \log^2 N)$ steps. In both cases, the complexities are almost linear in terms of the degree of freedom. We provide numerical results on several test examples.

研究の動機と目的

• 1次元および2次元における和の制約付き部分的フーリエ変換の計算ボトルネックを解消すること、特に地震画像化における波動場の前方 extrapolation における応用を目的とする。
• 自由度の数に対してほぼ線形の複雑度を有するアルゴリズムの開発を目的とし、直接計算の$O(N^2)$および$O(N^4)$のコストを克服すること。
• 変数で滑らかなカットオフ領域$ c_x = N\lceil c^0(x/N)\rceil $ で定義される、変動する和の領域に制限されたフーリエ変換の効率的計算を可能とすること。
• 反射地震法における波動場の前方 extrapolation において、伝搬波モードのみが必要な場合にスケーラブルなソリューションを提供すること。

提案手法

• 1次元の和の領域$D = \{(x,k) \mid k < c_x\}$または2次元の$|k| < c_x$を、再帰的な多スケール分割により二進ボックスに分解する。
• 1次元では、各ボックスに分数フーリエ変換を適用し、その構造を活かして正確に$O(N\log^2 N)$の複雑度を達成する。
• 2次元では、不規則な和の領域を効率的に処理するため、スパースフーリエ変換のバタフライアルゴリズムを用いる。
• 各ボックスにおけるカーネル行列を対角成分と振動成分に分解し、高速な行列-ベクトル乗算を可能にする。
• 境界に近いボックスは細分化され、内部では大きなボックスが支配的になる階層的分解を構築する。これにより、合計作業量を最小化する。
• すべてのボックスの和集合が、境界曲線から離れるに従い幾何級数的に増加するボックスサイズを持つ和の領域$D$を正確にカバーするように保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変数な和の上限を持つ部分的フーリエ変換は、1次元において$O(N^2)$より高速に計算可能か？
• RQ2 2次元においては次元が高く不規則な領域であるにもかかわらず、同様のアプローチでほぼ線形の複雑度を達成可能か？
• RQ3 和の領域の多スケール分解は、既存の高速変換アルゴリズムの利用をどのように可能にするか？
• RQ4 2次元において部分的変換を近似する場合、正確性と効率性のトレードオフはどのようなものか？
• RQ5 提案手法は、地震画像化における波動場前方 extrapolation ワークフローに統合可能で、計算コストを低減できるか？

主な発見

• 1次元アルゴリズムは$O(N\log^2 N)$の演算で正確な計算を達成し、標準的なFFTの$O(\log N)$倍しかコストが高くない。
• 2次元アルゴリズムは近似的だが正確で、$O(N^2\log^2 N)$の複雑度を有し、自由度に対してほぼ線形にスケーリングする。
• 数値結果では、$N=2048$の1次元において、直接評価と比較して100倍以上の高速化、フルFFTと比較して1000倍以上の高速化を達成した。
• 実際の地震速度モデルを用いた2次元ケースでは、相対誤差が$10^{-8}$未満を維持しながら、直接法と比較して1000倍の高速化を達成した。
• 2次元アルゴリズムの定数係数は高く、バタフライ手順に起因するため、実装上の最適化の余地がある。
• 異なる滑らかなカットオフ関数に対して安定しており、$N$の増加に伴い良好にスケーリングする。$N$が2048まで確認された。