[論文レビュー] Fast computation of Tukey trimmed regions in dimension $p>2$

Xiaohui Liu, Karl Mosler+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2014

Advanced Statistical Methods and Models参考文献 27被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、p > 2次元における正確なトゥーキー断面領域を計算するための2つの効率的なアルゴリズムを提案する。深さ領域の組合せ的性質を活用することで、計算時間とメモリ使用量を大幅に削減する。これらの手法により、従来のアプローチが非現実的であった高次元におけるロバストでアフィン不変な多変量分位数の実用的応用が可能になる。

ABSTRACT

Given data in $\mathbb{R}^{p}$, a Tukey $ au$-trimmed region is the set of all points that have at least Tukey depth $ au$ in the data. As they are visual, affine equivariant and robust, Tukey trimmed regions are useful tools in nonparametric multivariate analysis. While these regions are easily defined and can be interpreted as $p$-variate quantiles, their practical application is impeded by the lack of efficient computational procedures in dimension $p>2$. We construct two algorithms that exploit certain combinatorial properties of the regions. Both calculate the exact region. They run much faster and require substantially less RAM than existing ones.

研究の動機と目的

• p > 2次元における正確なトゥーキー断面領域計算の計算不能性を解決すること。
• 従来の手法よりも大幅に高速で、かつメモリ効率の良いアルゴリズムの開発。
• トゥーキー深さ領域に内在する組合せ的構造を活用し、高次元における正確な計算を可能とすること。
• 正確な断面領域を用いて、p > 2におけるロバストでアフィン不変な多変量解析を実用可能にする。

提案手法

• アルゴリズムは、トゥーキー深さの組合せ的性質を活用し、すべての可能な領域を全列挙するのを避ける。
• 深さ領域の境界を定義する重要な超平面および面を特定することで、正確なトゥーキー断面領域を計算する。
• データポイントと深さ境界の間に存在する双対性を活用し、計算複雑度を低減する。
• 中間の完全な深さ構造を保存しないように設計することで、RAM使用量を最小限に抑える。
• 深さ制約に基づく再帰的分割と pruning 策略を採用し、収束を加速する。
• 近似やサンプリングに依存せず、理論的定義に完全に忠実な正確な計算を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p > 2次元におけるトゥーキー断面領域を近似を用いずに、どのように効率的に計算できるか？
• RQ2 トゥーキー深さのどの組合せ的性質が計算複雑度の低減に利用可能か？
• RQ3 大幅にメモリ使用量と実行時間を削減した状態で、高次元における断面領域の正確な計算が可能か？
• RQ4 提案手法の従来手法に対する性能向上（速度およびメモリ使用量の観点）はどの程度か？

主な発見

• 提案手法は、従来の手法よりも顕著な高速化を達成し、p > 2次元における正確なトゥーキー断面領域を計算可能にする。
• メモリ使用量が著しく削減され、中程度の標本サイズでも標準的なハードウェアで計算が可能になる。
• 次元数pの増加に対しても効果的にスケーリングされ、従来のアプローチが失敗する領域でも実行可能である。
• 組合せ的構造の活用により、サンプリングや近似ヒューリスティクスに依存せずに正確な計算が可能になる。