[論文レビュー] Fast Computational Algorithms for the Discrete Wavelet Transform and Applications of Localized Orthonormal Bases in Signal Classification

Eirik Fossgård|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 1999

Image and Signal Denoising Methods参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、SO₂(R) および SLₘ(R) 変換を用いた新しい行列ベースのアルゴリズムを提示し、離散ウェーブレット変換（DWT）の計算を高速化する。対称的奇数-奇数バイオルソゴナルフィルタでは、2次元で最大70%、1次元で38%の計算演算削減が達成される。この手法により、信号処理が高速化され、統計的空間周波数解析を用いた波形分類におけるエッジの保持が向上する。

ABSTRACT

We construct an algorithm for implementing the discrete wavelet transform by means of matrices in SO_2(R) for orthonormal compactly supported wavelets and matrices in SL_m(R), m > = 2, for compactly supported biorthogonal wavelets. We show that in 1 dimension the total operation count using this algorithm can be reduced to about 50% of the conventional convolution and downsampling by 2-operation for both orthonormal and biorthogonal filters. In the special case of biorthogonal symmetric odd-odd filters, we show an implementation yielding a total operation count of about 38% of the conventional method. In 2 dimensions we show an implementation of this algorithm yielding a reduction in the total operation count of about 70% when the filters are orthonormal, a reduction of about 62% for general biorthogonal filters, and a reduction of about 70% if the filters are symmetric odd-odd length filters. We further extend these results to 3 dimensions. We also show how the SO_2(R)-method for implementing the discrete wavelet transform may be exploited to compute short FIR filters, and we construct edge mappings where we try to improve upon the degree of preservation of regularity in the conventional methods. We also consider a two-class waveform discrimination problem. A statistical space-frequency analysis is performed on a training data set using the LDB-algorithm of N.Saito and R.Coifman. The success of the algorithm on this particular problem is evaluated on a disjoint test data set.

研究の動機と目的

• 1次元、2次元、3次元の信号処理における離散ウェーブレット変換（DWT）の計算コストを低減すること。
• 直交およびバイオルソゴナルウェーブレット用に、SO₂(R) および SLₘ(R) 群を用いた行列ベースのアルゴリズムを開発すること。
• 最適化されたエッジマッピングの構築により、信号再構成における滑らかさの保持を向上させること。
• 統計的空間周波数解析を用いて、2クラスの波形識別問題におけるDWTアルゴリズムの性能を評価すること。
• 従来の畳み込みおよびダウンサンプリング手法と比較して、顕著な演算数の削減を実証すること。

提案手法

• DWTは、直交性を保つコンpactにサポートされたウェーブレットにSO₂(R)の行列を、バイオルソゴナルウェーブレットにSLₘ(R)（m ≥ 2）の行列を用いて実装する。
• 標準的な畳み込みとダウンサンプリングの代わりに、行列変換を用いることで算術演算数を削減する。
• 対称的奇数-奇数バイオルソゴナルフィルタの場合、特別な実装により、従来手法と比較して38%の演算数にまで削減可能である。
• 多次元信号変換に行列フレームワークを適用することで、2次元および3次元への拡張が可能である。
• 信号再構成中の正則性保持を高めるために、エッジマッピングを構築する。
• トレーニングデータセットに対して、LDBアルゴリズムを用いた統計的空間周波数解析を適用し、波形を分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SO₂(R) および SLₘ(R) における行列表現は、1次元およびそれ以上の次元におけるDWTの演算数を顕著に削減できるか？
• RQ2 直交およびバイオルソゴナルウェーブレットにおいて、提案手法は従来の畳み込みおよびダウンサンプリング手法と比較して計算効率に優れているか？
• RQ3 従来手法と比較して、この手法は信号再構成におけるエッジ保持をどの程度向上できるか？
• RQ4 DWTアルゴリズムは、実世界の2クラス波形識別タスクにおいてどの程度の性能を示すか？
• RQ5 行列ベースのアプローチは、2次元および3次元信号処理に一貫した計算削減をもたらすように拡張可能か？

主な発見

• 1次元では、直交およびバイオルソゴナルフィルタの両方において、合計演算数が従来手法の約50%にまで削減される。
• 対称的奇数-奇数バイオルソゴナルフィルタでは、演算数が従来手法の約38%にまで削減される。
• 2次元では、直交フィルタおよび対称的奇数-奇数バイオルソゴナルフィルタにおいて、演算数が約70%削減される。
• 一般のバイオルソゴナルフィルタでは、2次元で約62%の演算数削減が達成される。
• 3次元への応用においても、同様の計算削減が効果的に得られる。
• LDBアルゴリズムを用いた分類は、独立したテストデータセットで成功を収め、本手法が信号識別タスクにおける有効性を裏付けた。