[論文レビュー] Fast data-driven model reduction for nonlinear dynamical systems

Joar Axås, Mattia Cenedese+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2022

Model Reduction and Neural Networks被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、非線形力学系のスペクトル部分多様体（SSM）へのモデル低減のための、明示的かつデータ駆動型のアルゴリズムである fastSSM および fastSSM+ を提案する。SSMの接空間が特異値分解（SVD）を用いて推定可能であると仮定し、低次元多様体上で正規形を解析的に計算することで、SSMLearnにおける暗黙的最適化と比較して数個のオーダーの高速化を達成しながら、ビーム振動やスロッシングタンクを含む数値的および実験的データセットにおける非線形的かつ線形化不能な力学系に対しても高い精度を維持する。

ABSTRACT

We present a fast method for nonlinear data-driven model reduction of dynamical systems onto their slowest nonresonant spectral submanifolds (SSMs). We use observed data to locate a low-dimensional, attracting slow SSM and compute a maximally sparse approximation to the reduced dynamics on it. The recently released SSMLearn algorithm uses implicit optimization to fit a spectral submanifold to data and reduce the dynamics to the normal form. Here, we present two simplified algorithms, which reformulate manifold fitting and normal form computation as explicit problems under certain assumptions. We show on both numerical and experimental datasets that these algorithms yield accurate and sparse rigorous models for essentially nonlinear (or non-linearizable) dynamics. The new algorithms are significantly simplified and provide a speedup of several orders of magnitude.

研究の動機と目的

• データ駆動型モデル低減のための暗黙的最適化に基づく SSMLearn アルゴリズムの代替として、より高速かつアクセスしやすい手法の開発。
• SSM 擬合と正規形計算の簡素化により、高次元の観測空間においても効率的なモデル低減を実現すること。
• 実時間での解析や制御設計に適した、明示的かつ解析的に計算可能な正規形をSSM上に提供すること。
• 明示的計算が、計算コストを著しく削減しつつも、実用的応用に十分な精度を持つモデルを生成できることを実証すること。

提案手法

• SSM の接空間がデータの特異値分解（SVD）によって近似可能であると仮定し、明示的な SSM 擬合を可能にする。
• データに対する多項式フィットを用いて、観測空間内での SSM を多様体として推定する。
• 任意の所望の次数まで、明示的かつ再帰的なアルゴリズムを用いて SSM 上の正規形を計算する。
• スパース回帰手法を用いて正規形に含まれる重要な非線形項のみを保持し、解釈可能性を向上させる。
• fastSSM は、複素共役固有値を有する 2D SSM に対して立方型正規形を対象とし、単モード振動に適している。
• fastSSM+ は、任意の次数および次元に一般化され、立方型 2D 場合では fastSSM と同等の結果を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SSM 擬合と正規形計算を、高コストな暗黙的最適化を回避する明示的問題に再定式化できるか？
• RQ2 明示的 SSM および正規形計算の性能は、精度と速度の観点で暗黙的最適化と比較してどうなるか？
• RQ3 新規アルゴリズムは、内部共鳴や非線形ダンピングなどの線形化不能な力学系に対しても、モデルの忠実性を維持できるか？
• RQ4 SVD を用いた接空間推定を仮定した場合、モデルの精度および収束領域にどのような影響が生じるか？
• RQ5 明示的正規形計算は、実用的な予測や制御に十分な有効性を持つモデルを生成できるか？

主な発見

• fastSSM および fastSSM+ アルゴリズムは、元の SSMLearn アルゴリズムと比較して、数個のオーダーの高速化を達成した。
• 固定端-固定端ビーム実験では、テストセットにおける正規化平均軌道誤差（NMTE）が 1.28% に達した。
• モデルはビームデータに内部共鳴を自動的に検出し、モード間のエネルギー移動を正しく捉えた。
• タンクのスロッシング実験では、減衰ダイナミクスおよび強制応答の振幅・位相を正確に予測した。
• fastSSM+ が解析的に計算した正規形は、SSMLearn が数値的にフィットした正規形と比較して顕著に有効領域が小さく、実際の応用においてデータ駆動型フィットが解析的手法を上回ることを示した。
• それでも、明示的手法は解釈可能で、信頼性のある予測および解析に十分な精度を持つモデルを生成した。