[論文レビュー] Fast decay of correlations of equilibrium states of open classes of non-uniformly expanding maps and potentials

Alexander Arbieto, Carlos Matheus|ArXiv.org|Mar 27, 2006

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 18被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、ホルダー連続なポテンシャルの振幅が小さい非一様に拡張する写像の平衡状態について、存在性、一意性、相関関数の指数的減衰を確立する。ルエール・ペロン＝フロベニウス作用素のスペクトル解析とラソイタ＝ヨルケ型不等式を用いて、双対作用素の固有測度が拡張的であることを証明し、関連する固有関数が高速な混合性を示す一意な不変測度を導く。

ABSTRACT

We study the existence, uniqueness and rate of decay of correlation of equilibrium measures associated to robust classes of non-uniformly expanding local diffeomorphisms and Hölder continuous potentials. The approach used in this paper is the spectral analysis of the Ruelle-Perron-Frobenius transfer operator. More precisely, we combine the expanding features of the eigenmeasures of the transfer operator with a Lasota-Yorke type inequality to prove the existence of an unique equilibrium measure with fast decay of correlations.

研究の動機と目的

• 非一様に拡張する写像の強固なクラスとホルダー連続ポテンシャルに対して、平衡測度の存在と一意性を確立すること。
• これらの平衡状態における相関関数の減衰速度を分析し、特に指数的減衰を証明すること。
• 有限マルコフ分割が存在しないという制約を克服することで、一様に拡張する系を超えた熱力学的形式主義を拡張すること。
• 正のリャプノフ指数とハイパーボリック時刻が、指数的混合性を含む強い統計的性質を示すことの根拠を示すこと。
• 平衡測度が確率的に安定であり、大偏差原理を満たすことを示すこと。

提案手法

• ホルダー連続ポテンシャル $\phi$ に関連するルエール・ペロン＝フロベニウス作用素 $\mathcal{L}_\phi$ を用いる。
• 双対作用素 $\mathcal{L}_\phi^\star$ のスペクトル解析を適用し、固有測度 $\nu$ を特定する。
• 固有測度 $\nu$ が拡張的であることを証明する。これは $\nu$-一般の点が豊富なハイパーボリック時刻を持つことにより示される。
• $\mathcal{L}_\phi$ に対してラソイタ＝ヨルケ型不等式を確立し、反復作用素のノルムを制御し、スペクトルギャップを保証する。
• 作用素 $\mathcal{L}_\phi$ の正の固有関数 $h$ を構成し、不変測度 $\mu = h\nu$ を定義する。この測度 $\mu$ は $\nu$ に関して絶対連続である。
• 固有測度のエルゴディシティと同値性を用いて、平衡測度 $\mu$ の一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非一様に拡張する写像とホルダー連続ポテンシャルに対して、一意な平衡測度が存在する条件は何か？
• RQ2 この非一様に拡張する設定における平衡状態の相関関数の減衰速度は何か？
• RQ3 有限マルコフ分割が存在しない状況下で、作用素のスペクトル特性をどのように用いて指数的混合性を確立できるか？
• RQ4 正のリャプノフ指数とハイパーボリック時刻が、相関関数の指数的減衰のような強い統計的性質をどれほど強く示唆するか？
• RQ5 小振幅の非定数ポテンシャルを含む非一様に拡張する写像の熱力学的形式主義を、どのように拡張できるか？

主な発見

• 任意の $f$ が非一様に拡張する写像の開クラス $\mathcal{C}$ に属し、かつ $\max\phi - \min\phi$ が十分に小さいホルダー連続ポテンシャル $\phi$ に対して、一意な平衡測度 $\mu$ が存在する。
• 一意な平衡測度 $\mu$ は正のリャプノフ指数を有し、一般の点で双曲的であることを示唆する。
• 測度 $\mu$ は相関関数の指数的減衰を示し、相関関数が任意の多項式速度よりも速く減衰することを意味する。
• 平衡測度 $\mu$ は $\mu = h\nu$ として構成され、ここで $\nu$ は双対作用素 $\mathcal{L}_\phi^\star$ の固有測度であり、$h$ は $\mathcal{L}_\phi$ の正の固有関数である。
• 他の任意の平衡測度 $\eta$ に対して $\frac{1}{h}\eta \sim \nu$ が成り立ち、エルゴディシティにより $\eta = \mu$ が得られ、一意性が証明される。
• 平衡測度はロフリンの公式を満たす：$h_\mu(f) = \int \log J_\mu f \, d\mu$ であり、与えられた条件下で測度的エントロピーの公式の妥当性が確認される。