[論文レビュー] Fast digital methods for adiabatic state preparation

Kianna Wan, Isaac H. Kim|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 36被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、ゲートベース量子コンピュータ上で高速な断熱的状態準備を実現する量子アルゴリズムを提示する。準断熱的継続法を用いて、逆誤差における多項式対数的スケーリングを達成する。一般の固有状態に対しては、$\mathcal{O}\left(\frac{\alpha^2}{\gamma^2}\operatorname{polylog}(\alpha/\gamma\epsilon)\right)$ のクエリ複雑度を実現し、基底状態に対してはさらにスケーリングを改善し、従来手法と比較して精度依存性において指数的向上を達成する。

ABSTRACT

We present a quantum algorithm for adiabatic state preparation on a gate-based quantum computer, with complexity polylogarithmic in the inverse error. Our algorithm digitally simulates the adiabatic evolution between two self-adjoint operators $H_0$ and $H_1$, exponentially suppressing the diabatic error by harnessing the theoretical concept of quasi-adiabatic continuation as an algorithmic tool. Given an upper bound $α$ on $\|H_0\|$ and $\|H_1\|$ along with the promise that the $k$th eigenstate $|ψ_k(s) angle$ of $H(s) \equiv (1-s)H_0 + sH_1$ is separated from the rest of the spectrum by a gap of at least $γ> 0$ for all $s \in [0,1]$, this algorithm implements an operator $\widetilde{U}$ such that $\||ψ_k(1) angle - \widetilde{U}|ψ_k(s) angle\| \leq ε$ using $O(α^2/γ^2) ext{polylog}(α/γε)$ queries to block-encodings of $H_0$ and $H_1$. In addition, we develop an algorithm that is applicable only to ground states and requires multiple queries to an oracle that prepares $|ψ_0(0) angle$, but has slightly better scaling in all parameters. We also show that the costs of both algorithms can be further reduced under certain reasonable conditions, such as when $\|H_1 - H_0\|$ is small compared to $α$, or when more information about the gap of $H(s)$ is available. For certain problems, the scaling can even be improved to linear in $\|H_1 - H_0\|/γ$ up to polylogarithmic factors.

研究の動機と目的

• 量子シミュレーションにおける初期状態準備の高コスト、特に低エネルギー固有状態に対しての課題を解決すること。
• Trotter-Suzuki分解に基づく従来の断熱的状態準備アルゴリズムにおける多項式的誤差依存性を克服すること。
• 逆誤差における多項式対数的スケーリングを達成するデジタル量子アルゴリズムを構築すること。
• 準断熱的継続の理論的枠組みを、デジタル量子シミュレーションの実用的アルゴリズム的ツールとして活用すること。
• 固有状態フィルタリングとデジタル断熱的発展を統合することで、基底状態準備のスケーリングを改善すること。

提案手法

• アルゴリズムは、ブロックエンコーディングオракルを用いて、自己随伴ハミルトニアン $H_0$ と $H_1$ 間のデジタル断熱的発展をシミュレートする。
• 時間発展演算子に適切に選んだ関数 $f(t)$ を用いることで、準断熱的継続の概念を応用し、断熱的でない誤差を抑制する。
• フィルタリングに基づく手法を避ける代わりに、時間ordered指数関数の積分変換に基づく非ユニタリ発展フレームワークを採用する。
• $H(s) = (1-s)H_0 + sH_1$ のブロックエンコーディングを、$H_0$ と $H_1$ オーキャル各1回のクエリで構築し、$[s_0, s_1] \subset [0,1]$ の区間におけるセグメントワイドな断熱的発展を可能にする。
• 基底状態の場合、状態準備オーキャル $G_0$ への複数回のクエリを用いて、固有状態フィルタリングとデジタル断熱的準備を統合する。
• 追加の仮定（例えば $\|H_1 - H_0\|$ が小さい、または非一様なギャップ境界 $\gamma(s)$ が利用可能）のもとでスケーリングを改善し、$\widetilde{\mathcal{O}}(\beta/\gamma)$ の複雑度を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 デジタル量子アルゴリズムにおいて、逆誤差に多項式対数的依存性を有する断熱的状態準備が可能か？
• RQ2 準断熱的継続フレームワークは、状態準備の実用的量子アルゴリズムにどのように適合可能か？
• RQ3 $H_0$ の固有状態が既知であるとき、$H_1$ の目的の固有状態を準備するための最適なクエリ複雑度とゲート複雑度は何か？
• RQ4 スペクトルギャップ $\gamma(s)$ に関する追加情報が利用可能である場合、スケーリングを改善できるか？
• RQ5 基底状態準備オーキャルの導入は、断熱的状態準備の全体的な複雑度にどのように影響するか？

主な発見

• アルゴリズムは、$H_1$ の $k$ 番目の固有状態を誤差 $\epsilon$ で準備するため、$H_0$ と $H_1$ のブロックエンコーディングへのクエリを $\mathcal{O}\left(\frac{\alpha^2}{\gamma^2}\operatorname{polylog}(\alpha/\gamma\epsilon)\right)$ 回で実現する。
• 基底状態の場合、有利な条件下で複雑度を $\widetilde{\mathcal{O}}(\beta/\gamma)$ 回にまで低減し、従来の多項式的誤差依存性を示す手法よりも優れている。
• 任意の区間 $[s_0, s_1] \subset [0,1]$ におけるセグメントワイドな断熱的発展が可能であり、局所的ギャップ情報 $\gamma(s)$ に基づく適応的スケーリングが可能である。
• $\|H_1 - H_0\|$ が $\alpha$ よりも小さい場合、複雑度は $\widetilde{\mathcal{O}}(\|H_1 - H_0\|/\gamma)$ にスケーリングされ、摂動強度に対して線形依存性を達成する。
• フィルタリング手法に依存せず、$1/\epsilon$ に対して多項式対数的スケーリングを維持するため、従来の断熱的シミュレーション手法に比べ、概念的および実用的改善を提供する。
• スペクトルギャップ関数 $\gamma(s)$ に対して妥当な仮定が成り立つ場合、クエリ複雑度は $\widetilde{\mathcal{O}}(\beta/\gamma)$ にまで低減され、従来のギャップ最適化アルゴリズムと比較して精度スケーリングにおいて指数的向上を達成する。