[論文レビュー] Fast eigenpairs computation with operator adapted wavelets and hierarchical subspace correction

Hehu Xie, Lei Zhang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 50被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、多スケール楕円型PDEの粗い係数を有する固有ペアを高速かつ安定して計算するための手法を提示する。この手法は、演算子に適応したウェーブレット（gamblets）と階層的部分空間補正を組み合わせることで、近似的に線形の計算複雑性を達成する。gambletsを用いることで、安定なマルチスケール分解が可能となり、多スケールPDEの固有値求解法（例：LOBPCG）における収束が著しく高速化される。また、極端なスケール分離を示す困難な問題に対しても高い精度を維持する。

ABSTRACT

We present a method for the fast computation of the eigenpairs of a bijective positive symmetric linear operator $\mathcal{L}$. The method is based on a combination of operator adapted wavelets (gamblets) with hierarchical subspace correction.First, gamblets provide a raw but fast approximation of the eigensubspaces of $\mathcal{L}$ by block-diagonalizing $\mathcal{L}$ into sparse and well-conditioned blocks. Next, the hierarchical subspace correction method, computes the eigenpairs associated with the Galerkin restriction of $\mathcal{L}$ to a coarse (low dimensional) gamblet subspace, and then, corrects those eigenpairs by solving a hierarchy of linear problems in the finer gamblet subspaces (from coarse to fine, using multigrid iteration). The proposed algorithm is robust for the presence of multiple (a continuum of) scales and is shown to be of near-linear complexity when $\mathcal{L}$ is an (arbitrary local, e.g.~differential) operator mapping $\mathcal{H}^s_0(Ω)$ to $\mathcal{H}^{-s}(Ω)$ (e.g.~an elliptic PDE with rough coefficients).

研究の動機と目的

• 高周波数または粗い係数を有する楕円型PDEの固有ペアを効率的に計算する課題に取り組む。標準的な固有値求解法はスケールの結合性のため困難である。
• 多スケール設定における多重レベル補正法の収束が遅い問題を、robustで良好に条件付けられたマルチスケール分解を提供するgambletsを活用することで克服する。
• 演算子が非分離的で複数のスケールを有する場合でも、$σ$-正則性空間における固有値問題に対して近似的に線形の計算複雑性を達成する手法を開発する。
• 最新の固有値求解法（例：LOBPCG や多重レベル補正スキーム）の性能を向上させるためのプリコンディショニングフレームワークを提供する。

提案手法

• 本手法は、スケール直交性、良好に条件付けられた分解、空間局在性を満たす演算子に適応したウェーブレット（gamblets）を用い、演算子 $σ$ に対する階層的マルチスケール基底を構築する。
• まず粗いgamblet部分空間上で固有値問題を解き、その後多スケール反復補正を多スケール反復法（multigrid）を用いて細分化された部分空間で逐次修正することで、階層的部分空間補正を適用する。
• 固有値問題は、$σ$ を粗いgamblet部分空間へのガラーキン射影に制限したものであり、修正は細分化された部分空間における多スケール反復加速線形解法により計算される。
• 内側の線形解法の高速かつ安定な収束を確保するため、gambletsと多スケール反復法を統合する。これは固有値問題求解法にとって極めて重要である。
• マルチスケールスパarsityと条件数の改善により、LOBPCGに効率的なプリコンディショニングを可能にし、高品質な初期近似を提供する。
• 演算子 $σ$ が $σ^{s}_{0}(\Omega)$ から $σ^{-s}(\Omega)$ への写像である場合、$σ$ が粗い係数を有する微分演算子であっても、近似的に線形の複雑性を維持するように設計されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 gambletsを用いて、複数スケールを有する演算子のための安定でマルチスケール分解を構築し、固有ペアの高速かつ安定な計算を可能にすることができるか？
• RQ2 gambletsに基づく多スケール反復法と階層的部分空間補正を組み合わせることで、多スケール固有値問題の解法において近似的に線形の複雑性が達成できるか？
• RQ3 粗い係数を有する問題において、gambletsに基づく手法は、最新の固有値求解法（例：LOBPCG）と比較して収束速度と精度の点で優れているか？
• RQ4 gamblets分解は、LOBPCGなどの反復的固有値求解法のための有効なプリコンディショナーとして機能できるか？また、収束性をどのように改善するか？
• RQ5 Anderson局在化のような困難な問題において、多重レベル補正とLOBPCGを組み合わせたハイブリッド手法の性能はいかがなものか？

主な発見

• gambletsに基づく多重レベル補正スキームは、適応的停止基準なしにSPE10問題の最初の12個の固有値について $10^{-14}$ の精度を達成し、高いロバスト性を示した。
• gambletsプリコンディショニング付きLOBPCGは、標準的なプリコンディショナー（例：ILU や幾何的 multigrid）よりも外反復回数が少なかったため、収束が速かった。
• $\varepsilon = 0.01$ のAnderson局在化問題において、gambletsに基づく多重レベル補正でLOBPCGを初期化したハイブリッド手法は、高速かつ高精度の収束を達成した。
• 演算子が連続的なスケールを有する場合でも、粗い係数を有する楕円型PDEに対して、本手法は近似的に線形の計算複雑性を示した。
• 数値結果から、gambletsに基づく手法は、ILU や幾何的 multigrid などの標準的プリコンディショニング技術よりも収束速度とロバスト性の点で優れていた。
• gambletsと階層的部分空間補正の組み合わせにより、高対比および多スケール問題を含む複数のテストケースにおいて、高速かつ安定かつ高精度な固有ペア計算が可能となった。