[論文レビュー] Fast Elliptic Curve Arithmetic and Improved Weil Pairing Evaluation

Kirsten Eisenträger, Kristin Lauter+1 more|ArXiv.org|Aug 5, 2002

Cryptography and Residue Arithmetic被引用数 48

ひとこと要約

本稿では、アフィン座標を用いた楕円曲線上のスカラ乗算において、$2P + Q$ を計算する際の1つの体乗算を排除することで最適化されたアルゴリズムを提示している。これにより、スカラ乗算の性能が平均3.8%から8.5%向上した。この手法は、放物線補間を用いて、WeilおよびTateペアリング評価を最大7.8%高速化する応用も可能であり、高価な直線評価を削減し、中間結果を活用している。

ABSTRACT

We present an algorithm which speeds scalar multiplication on a general elliptic curve by an estimated 3.8 % to 8.5 % over the best known general methods when using affine coordinates. This is achieved by eliminating a field multiplication when we compute 2P+Q from given points P, Q on the curve. We give applications to simultaneous multiple scalar multiplication and to the Elliptic Curve Method of factorization. We show how this improvement together with another idea can speed the computation of the Weil and Tate pairings by up to 7.8 %.

研究の動機と目的

• アフィン座標における楕円曲線上のスカラ乗算の計算コストを低減すること。
• $2P + Q$ の計算において、中間結果を保存しないまま、余分な体乗算を排除すること。
• WeilおよびTateペアリングの評価を最適化することで、ペアリングベースの暗号システムの効率を向上させること。
• 整数因数分解のための楕円曲線法（ECM）を含む、さまざまな応用分野への性能向上を拡張すること。
• 標準的なスカラ乗算アルゴリズムおよびペアリング計算に適用可能な実用的で汎用的な改善を提供すること。

提案手法

• アルゴリズムは、$2P + Q$ を $(P + Q) + P$ として計算することで、$P + Q$ の $y$-座標を保存または計算する必要がなくなり、1つの体乗算を節約する。
• 群則から導出された放物線補間式を用いて、ペアリング関数の分子を表現し、$bP + cP$ の $y$-座標の明示的計算を回避する。
• ダブルアド操作中に計算された傾き値 $\lambda_1$ および $\lambda_2$ を再利用し、追加の乗算を1回のみで放物線係数を構築する。
• ペアリング評価を最適化するために、4つの直線関数の積を、$y$-座標に依存しない1つの放物線関数に置き換える。
• ペアリングの分子を放物線として表現することで、WeilおよびTateペアリングの両方の評価に適応し、評価コストを削減する。
• 本番環境への導入を想定し、付録に疑似コードおよびエッジケース（例：無限遠点）の処理を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 楕円曲線上で $2P + Q$ を計算する際、中間の $y$-座標の保存を避けることでコストを削減できるか？
• RQ2 最適化された $2P + Q$ 操作による節約が、左から右へのバイナリ法を用いたスカラ乗算にどの程度活用できるか？
• RQ3 WeilおよびTateペアリングの分子構造を放物線を用いて再表現することで、体演算を削減できるか？
• RQ4 直線関数の積を放物線評価に置き換えた場合、ペアリング計算における定量的性能向上はどの程度か？
• RQ5 実装において、さまざまなウィンドウサイズや曲線タイプにわたって、この手法のスケーラビリティはどの程度か？

主な発見

• 提案手法により、$2P + Q$ の計算コストが2回の乗算から1回に削減され、スカラ乗算時間に平均3.8%から8.5%の高速化が達成された。
• 4つの直線評価を1つの放物線評価に置き換えることで、WeilおよびTateペアリング評価が7.8%向上した。この際、$y$-座標の計算を回避している。
• 固定された $P$ に対して複数のペアリングを計算する場合、放物線係数の事前計算により、性能向上が12.5%にまで増加する。
• 異なる曲線タイプにわたり一貫した節約が得られ、スライディングウィンドウ法やバイナリ法を含む標準的なスカラ乗算手法にも適用可能である。
• 疑似コードおよび付録におけるエッジケース処理により、退化した場合でも正しくかつ効率的に動作することが示された。
• 性能向上は体乗算および除算の回数に基づいて測定されており、コスト比較のため除算は5.18回の乗算に換算されている。