[論文レビュー] Fast evaluation of the Caputo fractional derivative and its applications to fractional diffusion equations

Shidong Jiang, Jiwei Zhang+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2015

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 24被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、$\alpha \in (0,1)$ の Caputo 分数階微分を評価する高速なアルゴリズムを提示する。核関数 $t^{-1-\alpha}$ の指数関数の和による近似を用いることで、保存領域を $O(N_T)$ から $O(N_{\text{exp}})$、計算コストを $O(N_T^2)$ から $O(N_T N_{\text{exp}})$ に削減する。この手法はほぼ最適な複雑性を達成し、$O(N_S N_T N_{\text{exp}})$ の計算量と $O(N_S N_{\text{exp}})$ の保存領域を伴う分数拡散方程式への応用により、直接法に比べて著しく効率が向上する。

ABSTRACT

We present an efficient algorithm for the evaluation of the Caputo fractional derivative $_0^C\!D_t^αf(t)$ of order $α\in (0,1)$, which can be expressed as a convolution of $f'(t)$ with the kernel $t^{-α}$. The algorithm is based on an efficient sum-of-exponentials approximation for the kernel $t^{-1-α}$ on the interval $[Δt, T]$ with a uniform absolute error $\varepsilon$, where the number of exponentials $N_{ ext{exp}}$ needed is of the order $O\left(\log\frac{1}{\varepsilon}\left( \log\log\frac{1}{\varepsilon}+\log\frac{T}{Δt} ight) +\log\frac{1}{Δt}\left( \log\log\frac{1}{\varepsilon}+\log\frac{1}{Δt} ight) ight)$. As compared with the direct method, the resulting algorithm reduces the storage requirement from $O(N_T)$ to $O(N_{ ext{exp}})$ and the overall computational cost from $O(N_T^2)$ to $O(N_TN_{ ext{exp}})$ with $N_T$ the total number of time steps. Furthermore, when the fast evaluation scheme of the Caputo derivative is applied to solve the fractional diffusion equations, the resulting algorithm requires only $O(N_SN_{ ext{exp}})$ storage and $O(N_SN_TN_{ ext{exp}})$ work with $N_S$ the total number of points in space; whereas the direct methods require $O(N_SN_T$) storage and $O(N_SN_T^2)$ work. The complexity of both algorithms is nearly optimal since $N_{ ext{exp}}$ is of the order $O(\log N_T)$ for $T\gg 1$ or $O(\log^2N_T)$ for $T\approx 1$ for fixed accuracy $\varepsilon$. We also present a detailed stability and error analysis of the new scheme for solving linear fractional diffusion equations. The performance of the new algorithm is illustrated via several numerical examples. Finally, the algorithm can be parallelized in a straightforward manner.

研究の動機と目的

• 時間依存問題における Caputo 分数階微分の直接評価の高コストと大容量保存要件を解決すること。
• 長時間シミュレーションに適した、高速で安定的かつ高精度な、ほぼ最適な複雑性を有する Caputo 微分評価アルゴリズムの開発。
• 高速評価スキームを分数拡散方程式に適用し、空間時間離散化における保存領域と計算作業の両方を削減すること。
• 線形分数拡散方程式を解く場合の新しいスキームの安定性および誤差解析を詳細に提示すること。
• 並列処理の効率的実装および高次スキームや多次元問題への拡張を可能にすること。

提案手法

• Caputo 微分を、標準的な L1 スキームで近似される局所的部分と、$t^{-1-\alpha}$ との畳み込みを含む履歴部分に分解する。
• $[\Delta t, T]$ 上で $t^{-1-\alpha}$ に均等絶対誤差 $\varepsilon$ を達成するように、指数関数の和による近似を構築する。この近似には、論文で指定された $N_{\text{exp}}$ 個の指数関数が必要である。
• 指数関数の数は、$O\left(\log\frac{1}{\varepsilon}(\log\log\frac{1}{\varepsilon} + \log\frac{T}{\Delta t}) + \log\frac{1}{\Delta t}(\log\log\frac{1}{\varepsilon} + \log\frac{1}{\Delta t})\right)$ のスケーリングを示す。
• 近似された核関数との畳み込みは再帰関係を用いて高速化され、履歴部分の評価が高速化される。
• 得られたアルゴリズムは、分数拡散方程式の時間ステッピングスキームに統合され、$O(N_S N_T N_{\text{exp}})$ の計算量と $O(N_S N_{\text{exp}})$ の保存領域を達成する。
• 離散エネルギー法と四則積分重みの境界を用いて、安定性および誤差解析を厳密に導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 核関数 $t^{-1-\alpha}$ の指数関数の和による近似を用いることで、Caputo 分数階微分をほぼ最適な複雑性で評価できるか？
• RQ2 $[\Delta t, T]$ 上で $t^{-1-\alpha}$ を均等絶対誤差 $\varepsilon$ で近似するための指数関数の数 $N_{\text{exp}}$ はどの程度か？
• RQ3 分数拡散方程式を解く際、提案された高速アルゴリズムは直接法と比較して、精度、安定性、計算コストの面でどのように差がつくか？
• RQ4 高速評価スキームは高次離散化および多次元問題へ拡張可能か？
• RQ5 線形分数拡散方程式に適用した場合、新しいスキームの安定性挙動はいかなるものか？

主な発見

• 均等絶対誤差 $\varepsilon$ を達成するための指数関数の数 $N_{\text{exp}}$ は、$T \gg 1$ の場合 $O(\log N_T)$、$T \approx 1$ の場合 $O(\log^2 N_T)$ にスケーリングされ、ほぼ最適な複雑性を達成する。
• 高速アルゴリズムにより、Caputo 微分評価の保存領域は $O(N_T)$ から $O(N_{\text{exp}})$ に、計算コストは $O(N_T^2)$ から $O(N_T N_{\text{exp}})$ に削減される。
• 分数拡散方程式に適用した場合、計算量は $O(N_S N_T N_{\text{exp}})$、保存領域は $O(N_S N_{\text{exp}})$ に抑えられ、直接法に比べて著しく効率が向上する。
• 数値結果により、新しいスキームは標準的な L1 スキームと同等の収束次数（$2 - \alpha$）を維持するが、CPU 時間とメモリ使用量が著しく削減されることが確認された。
• 理論的安定性解析により、適切な条件下では線形分数拡散方程式に対して、このスキームは無条件安定であることが確認された。
• アルゴリズムは自然に並列化可能であり、現代の計算アーキテクチャにおける効率的実装が可能である。