[論文レビュー] Fast Exact Algorithms Using Hadamard Product of Polynomials

V. Arvind, Abhranil Chatterjee+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、パrameterized 複雑性における2つの基本的問題である、次数kの多項式的単項式の個数を数える問題((k,n)-MLC)とその存在を検出する問題(k-MMD)に対する高速かつ正確なアルゴリズムを提示する。多項式のハダマード積、特にf ◦ Sn,kを用いて次数kの多項式的部品を抽出することで、(k,n)-MLCに対しては決定的O*(n^{k/2 + c log k})時間のアルゴリズム、k-MMDに対しては確率的O*(4.32^k)時間のアルゴリズムを達成し、両者とも従来の境界を改善するとともに、最良の既知の空間効率を達成した。

ABSTRACT

Let C be an arithmetic circuit of poly(n) size given as input that computes a polynomial f in F[X], where X={x_1,x_2,...,x_n} and F is any field where the field arithmetic can be performed efficiently. We obtain new algorithms for the following two problems first studied by Koutis and Williams [Ioannis Koutis, 2008; Ryan Williams, 2009; Ioannis Koutis and Ryan Williams, 2016]. - (k,n)-MLC: Compute the sum of the coefficients of all degree-k multilinear monomials in the polynomial f. - k-MMD: Test if there is a nonzero degree-k multilinear monomial in the polynomial f. Our algorithms are based on the fact that the Hadamard product f o S_{n,k}, is the degree-k multilinear part of f, where S_{n,k} is the k^{th} elementary symmetric polynomial. - For (k,n)-MLC problem, we give a deterministic algorithm of run time O^*(n^(k/2+c log k)) (where c is a constant), answering an open question of Koutis and Williams [Ioannis Koutis and Ryan Williams, 2016]. As corollaries, we show O^*(binom{n}{downarrow k/2})-time exact counting algorithms for several combinatorial problems: k-Tree, t-Dominating Set, m-Dimensional k-Matching. - For k-MMD problem, we give a randomized algorithm of run time 4.32^k * poly(n,k). Our algorithm uses only poly(n,k) space. This matches the run time of a recent algorithm [Cornelius Brand et al., 2018] for k-MMD which requires exponential (in k) space. Other results include fast deterministic algorithms for (k,n)-MLC and k-MMD problems for depth three circuits.

研究の動機と目的

• 算術回路における次数kの多項式的単項式の個数を数える問題の実行時間を著しくO*(n^k)未満に抑えること、特にO*(n^{k/2 + c log k})にすることを目的とした、KoutisとWilliamsが提起した未解決問題に取り組むこと。
• 全探索や従来の手法を上回る時間計算量を持つ、(k,n)-MLCおよびk-MMDの効率的かつ正確なアルゴリズムを開発すること。
• 可換な設定において、多項式のハダマード積を用いて多項式の多項式的部品を効率的に抽出する、新しい代数的ツールを提案すること。
• 基本的なパrameterized 問題に対して、時間および空間効率を向上させた決定的および確率的アルゴリズムを達成すること。
• 本手法を深さ3の回路へと拡張し、k-Tree や t-支配集合といった組合せ的問題に対する改善された個数数え上げアルゴリズムを導出すること。

提案手法

• 中心的な技術は、多項式fの次数kの多項式的部品を抽出するために、Sn,k（k番目の基本対称多項式）を用いたハダマード積f ◦ Sn,kを用いること。
• 非可換環上の長方形パーマネントの効率的評価を、可換な状況に適応させた対称化のテクニックを組み合わせること。
• (k,n)-MLCに対しては、fへのブラックボックスアクセスと、代数的分岐プログラム（ABPs）によるハダマード積の効率的計算を活用し、O*(n^{k/2 + c log k})時間で実行する。
• k-MMDに対しては、1.3k色の確率的彩色を用い、すべての多項式的単項式をカバーするΠΣ回路Piを構築し、シュワーツ・ツィッペルの補題に基づく確率的多項式時間テスト（PIT）を実行する。
• 回路内のXおよびZ変数を両方対称化し、長さ0.3kの特定のZ語で終わる単項式に注目することで、カラフルな多項式的項を分離する。
• 主な革新点は、S_{1.3k, 0.3k}を用いて回路の次数を拡張し、多項式的構造を保ちつつ、効率的なハダマード積の計算を可能にしたことである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 O*(n^k)未満の時間で(k,n)-MLC問題を解くことは可能か？特にO*(n^{k/2 + c log k})の時間で可能か？
• RQ2 O*(4.32^k)の実行時間と多項式空間のみを用いる確率的アルゴリズムをk-MMDに設計することは可能か？これは最良の既知の時間計算量を維持しながら、空間計算量を改善する。
• RQ3 可換な設定において、多項式のハダマード積を効率的に計算し、多項式的部品を抽出することは可能か？これにより、より高速な正確なアルゴリズムが可能になるか？
• RQ4 本手法を深さ3の回路に拡張することは可能か？これにより、(k,n)-MLCおよびk-MMDのためのより高速なアルゴリズムが得られるか？
• RQ5 本手法を用いて、k-Tree やm次元kマッチングといった組合せ的問題に対する改善された正確な個数数え上げアルゴリズムを導出できるか？

主な発見

• (k,n)-MLC問題に対して、定数cを用いてO*(n^{k/2 + c log k})時間で実行される決定的アルゴリズムが存在することを示し、KoutisとWilliamsが提起した未解決問題に答えを提示した。
• k-MMD問題に対しては、O*(4.32^k)時間と多項式時間空間（poly(n,k)）を用いる確率的アルゴリズムが開発され、最近の指数的空間アルゴリズムと同等の時間計算量を達成したが、空間計算量が著しく改善された。
• 本手法により、k-Tree、t-支配集合、m次元kマッチングの各問題に対して、O*(n^{k/2 + c log k})時間で実行される改善された正確な個数数え上げアルゴリズムが得られた。
• ハダマード積技術は、対称化と効率的なABPベースの評価を用いて、可換な設定に適応され、多項式的部品の計算を高速化した。
• 確率的k-MMD手順において、1色の彩色あたりO*(2.46^k)の実行時間が得られ、1.3k色とカバー確率の精密な解析を用いることで、最適化によりO*(4.32^k)にまで低下した。
• 本手法により、kに関して2次関数の指数を下回る決定的アルゴリズムが(k,n)-MLCに対して初めて得られ、深さ3の回路に対しても同様の効率的向上が達成された。