[論文レビュー] Fast Fourier-like Mapped Chebyshev Spectral-Galerkin Methods for PDEs with Integral Fractional Laplacian in Unbounded Domains

Changtao Sheng, Jie Shen+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2019

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 51被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、Dunford-Taylor表現とフーリエに類似した双対正規化マッピング・チェビシェフ関数（MCF）を用いて、非有界領域における積分型分数ラプラシアンを有する偏微分方程式を解く高速なスペクトル・ガレルキン法を提案する。この手法は、$ O((N\log_2 N)^d) $ の準最適な複雑度を達成し、分数ラプラシアンを完全に対角化することで、高次精度を実現し、非線形分数型偏微分方程式（例えば、分数非線形シュレーディンガー方程式）の効率的解法を可能にする。

ABSTRACT

In this paper, we propose a fast spectral-Galerkin method for solving PDEs involving integral fractional Laplacian in $\mathbb{R}^d$, which is built upon two essential components: (i) the Dunford-Taylor formulation of the fractional Laplacian; and (ii) Fourier-like bi-orthogonal mapped Chebyshev functions (MCFs) as basis functions. As a result, the fractional Laplacian can be fully diagonalised, and the complexity of solving an elliptic fractional PDE is quasi-optimal, i.e., $O((N\log_2N)^d)$ with $N$ being the number of modes in each spatial direction. Ample numerical tests for various decaying exact solutions show that the convergence of the fast solver perfectly matches the order of theoretical error estimates. With a suitable time-discretization, the fast solver can be directly applied to a large class of nonlinear fractional PDEs. As an example, we solve the fractional nonlinear Schr{ö}dinger equation by using the fourth-order time-splitting method together with the proposed MCF-spectral-Galerkin method.

研究の動機と目的

• 非有界領域における積分型分数ラプラシアンを含む偏微分方程式を、効率的かつ高精度に解く数値的手法を開発すること。
• 多次元における分数ラプラシアンの非局所的かつ特異的な性質に起因する計算上の課題を克服すること。
• 解が減衰する問題に対して、準最適な複雑度を維持しつつ、スペクトル精度を保持すること。
• 各時間ステップにおける線形系が完全に対角化されることで、非線形分数型偏微分方程式に対する効率的な時間積分を可能にすること。

提案手法

• 分数ラプラシアンのDunford-Taylor積分表現を用いて、リゾルベント作用素を含む閉曲線積分として表現する。
• 解の減衰特性を扱えるように設計された双対正規化マッピング・チェビシェフ関数（MCF）を基底関数として用いる。
• MCFの双対正規性により、スペクトル・ガレルキン枠組みにおける分数ラプラシアンの弱形式が完全に対角化可能である。
• 得られる線形系は対角構造を示し、$ N $ を1次元あたりのモード数として、$ O((N\log_2 N)^d) $ の解法複雑度を達成する。
• 4次精度の時間分割スキームを用いて時間依存問題へ拡張し、高次精度を維持する。
• 既知の減衰する正確解を有する問題に対する広範な数値実験により、手法の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ \mathbb{R}^d $ における積分型分数ラプラシアンを、非有界領域においてスペクトル法で効率的かつ高精度に近似できるか。
• RQ2 分数ラプラシアンの非局所的かつ特異的な性質が、スペクトル・ガレルキン枠組みで完全に対角化可能か。
• RQ3 減衰する解を有する分数型偏微分方程式に対して、高速スペクトル法の達成可能な収束速度と計算複雑度は何か。
• RQ4 提案手法を、時間方向に高次精度を保つ非線形分数型偏微分方程式へ拡張可能か。

主な発見

• 提案手法は、標準的なスペクトル法と比較して計算コストを顕著に低減する、$ O((N\log_2 N)^d) $ の準最適な複雑度を達成する。
• 数値実験により、収束速度が理論的誤差推定と一致し、減衰する解に対してスペクトル精度が実証された。
• 分数ラプラシアンがMCF基底において完全に対角化され、各時間ステップにおける線形系の効率的解法が可能となった。
• 4次精度時間分割スキームを用いて、分数非線形シュレーディンガー方程式に対しても手法が成功裏に適用され、高次精度を維持した。
• 理論的解析と数値結果により、多次元空間問題において本手法の頑健性と効率性が確認された。