[論文レビュー] Fast FPT algorithms for vertex subset and vertex partitioning problems using neighborhood unions

Binh-Minh Bui-Xuan, Jan Arne Telle+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2009

Advanced Graph Theory Research参考文献 21被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、グラフのカットにおける隣接集合の和の多様性に基づく新しいグラフパラメータであるブール幅（boolean-width）を導入し、広範な種類の頂点部分集合および頂点分割問題に対して固定パラメータ tractable（FPT）なアルゴリズムを提示する。主な貢献は、最適な分解が与えられた場合に、ブール幅に関して単一指数関数的（single exponential）な実行時間を達成することであり、従来のランク幅やクライク幅を用いた二重指数関数的依存関係を著しく改善する。また、ブール幅はランク幅の平方根のオーダーであり、対数的要因を除いて、ランク幅の平方根を超えないことが理論的に明確に示されている。

ABSTRACT

We introduce the graph parameter boolean-width, related to the number of different unions of neighborhoods across a cut of a graph. Boolean-width is similar to rank-width, which is related to the number of $GF[2]$-sums (1+1=0) of neighborhoods instead of the boolean-sums (1+1=1) used for boolean-width. We give algorithms for a large class of NP-hard vertex subset and vertex partitioning problems that are FPT when parameterized by either boolean-width, rank-width or clique-width, with runtime single exponential in either parameter if given the pertinent optimal decomposition. To compare boolean-width versus rank-width or clique-width, we first show that for any graph, the square root of its boolean-width is never more than its rank-width. Next, we exhibit a class of graphs, the Hsu-grids, for which we can solve NP-hard problems in polynomial time, if we use the right parameter. An $n imes \frac{n}{10}$ Hsu-grid on ${1/10}n^2$ vertices has boolean-width $Θ(\log n)$ and rank-width $Θ(n)$. Moreover, any optimal rank-decomposition of such a graph will have boolean-width $Θ(n)$, i.e. exponential in the optimal boolean-width. A main open problem is to approximate the boolean-width better than what is given by the algorithm for rank-width [Hliněný and Oum, 2008]

研究の動機と目的

• NP困難な頂点部分集合および頂点分割問題に対して、より高速なFPTアルゴリズムを開発することを目的とし、ブール幅と呼ばれる新しいグラフパラメータを導入すること。
• ブール幅がランク幅およびクライク幅とどのように関係するかを理論的に枠組みづけ、ブール幅が常にランク幅の平方根以下であることを示すこと。
• HSUグリッドなどの特定のグラフ族において、ブール幅がランク幅では解決不能なNP困難問題を多項式時間で解けることを示すこと。
• ブール幅を効率的に近似するという未解決問題に取り組み、現在のランク幅近似アルゴリズムがブール幅に対して2^{2*OPT}-近似を与える可能性を提案すること。

提案手法

• ブール幅を、頂点カットにおける隣接集合の和の多様性の対数として定義する。GF[2]加算（ランク幅で用いられる）の代わりにブール加算（1+1=1）を用いる。
• 任意のグラフについて、そのブール幅の平方根が、常にランク幅以下であることを証明し、基本的な上界を確立する。
• 木分解上での動的計画法アルゴリズムを設計し、隣接集合の和の構造を活用して、支配、ホモモーフィズム、彩色などの問題を解く。
• 隣接同値類の正規表現を用いて、再帰的サブ問題間での状態空間を圧縮し、正しさを保証する。
• 多くの問題において、d-隣接同値類の数が1-隣接同値類の関数で有界であることに着目し、効率的な状態集約を可能にする。
• HSUグリッドにアルゴリズムを適用し、ブール幅がΘ(log n)であれば多項式時間で解けるが、ランク幅がΘ(n)であると指数的実行時間が発生することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最適なブール幅分解が与えられた場合、頂点部分集合および分割問題に対して、ブール幅に関して単一指数関数的実行時間を持つFPTアルゴリズムを設計できるか？
• RQ2 ブール幅はランク幅およびクライク幅と比較して、漸近的上限においてどのように関係するか？
• RQ3 ランク幅では解決不能だが、ブール幅では多項式時間で解けるNP困難問題を解けるグラフ族は存在するか？
• RQ4 グラフのブール幅が2以下であるかどうかを多項式時間で決定するアルゴリズムは存在するか、またはブール幅kのグラフの特徴づけは可能か？
• RQ5 現在のランク幅分解から得られる2^{2*OPT}-近似よりも、ブール幅をより効率的に近似できるか？

主な発見

• ブール幅は、低次の項を除けば、常にランク幅の平方根以下であり、漸近的上限の観点から、ランク幅よりも厳密に強力であることが示された。
• サイズn²/10のHSUグリッドでは、ブール幅はΘ(log n)である一方、ランク幅はΘ(n)であり、両者の間には超多項式的なギャップが存在することが示された。
• 最適なブール幅分解が与えられた場合、提案されたアルゴリズムはO(n⁴ · 2^{3qd·βw²})の時間で問題を解き、ブール幅に関して単一指数関数的依存関係を達成する。
• d=1（例：H-ホモモーフィズム）の問題では、特別な処理を施すことで、ブール幅に関して線形指数関数的実行時間に改善可能であるが、これには専用の取り扱いが必要である。
• HSUグリッドでは、ブール幅をパラメータとした場合、アルゴリズムの実行時間は入力サイズに関して多項式的であるが、ランク幅をパラメータとした場合、指数的になる。これにより、ブール幅の優位性が明確に示された。
• 本稿では、βw(G) ≤ ¼ rw(G)² + ⁵⁄₄ rw(G) + log rw(G) という境界が、乗法的定数の意味でタイトかどうかは未解決であり、ブール幅を効率的に計算するという課題が提起されている。