[論文レビュー] Fast growth of the number of periodic points arising from heterodimensional connections

Masayuki Asaoka, Katsutoshi Shinohara+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非線形性および遷移写像のシュワーツィアン導関数に関する特定の条件下で、安定な異次元的サイクルを有する $C^r$-微分同相写像の近傍における $C^r$-一般の微分同相写像が、周期点の数に超指数的成長を示すことを確立している。著者らは、中心方向における最初の帰還写像を小刻みに摂動することで $C^r$-平坦にすることにより、滑らかな中心foliationが存在しない場合でさえ、指数的成長の上限を逸脱するような系を構成した。

ABSTRACT

We consider C^r-diffeomorphisms of a compact smooth manifold having a pair of robust heterodimensional cycles where r is a positive integer or infinity. We prove that if certain conditions about the signatures of non-linearities and Schwarzian derivatives of the transition maps are satisfied, then by giving C^r arbitrarily small perturbation, we can produce a periodic point at which the first return map in the center direction is C^r-flat. As a consequence, we will prove that C^r-generic diffeomorphisms in the neighborhood of the initial diffeomorphism exhibit super-exponential growth of number of periodic points. We also give examples which show the necessity of the conditions on non-linearities and the Schwarzian derivatives.

研究の動機と目的

• 部分的双曲的微分同相写像における周期点の成長率を、標準的な双曲性や滑らかな中心foliationが存在しない場合に調査すること。
• 一般に $C^r$-位相において、周期点の超指数的成長が発生する正則性および力学的条件を同定すること。
• 指数的成長の上限を防ぐために非線形性およびシュワーツィアン導関数の条件がなぜ必要となるかを明確にすること。
• 大スペクトルギャップを仮定しない一般の部分的双曲的微分同相写像に対して、半群作用およびスケュー積に関する先行結果を拡張すること。

提案手法

• 中心方向における最初の帰還写像に基づくホモクライン軌道の「シグネチャー」の概念を導入し、非線形性およびシュワーツィアン導関数を主要な不変量として用いる。
• 中心方向における最初の帰還写像を $C^r$-平坦に保つような $C^r$-小摂動を構成し、これにより周期点の数の無限大への成長を可能にする。
• 大スペクトルギャップを避けることで滑らかな中心foliationが存在しない状況を許容し、一般の部分的双曲的系をスケュー積形式に還元することなく解析可能にする。
• $C^r$-位相における一般性の議論を用いて、シグネチャー条件を満たす系の近傍で超指数的成長が一般的に成立することを示す。
• $\mathbb{T}^3$ 上の区分的定義された中心写像を有するスケュー積微分同相写像を用いて、条件の必要性を示す明示的例を構築する。
• 周期点の成長を制限する場合と、超指数的挙動を示す場合とを対比させるために、負のシュワーツィアン導関数および臨界点の非平坦性を道具として用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形性および遷移写像のシュワーツィアン導関数に関するどのような条件下で、異次元的サイクルを有する微分同相写像の $C^r$-摂動において、周期点の超指数的成長が一般に発生するか？
• RQ2 滑らかな中心foliationが存在しない、あるいは大スペクトルギャップがない状況において、$C^r$-一般の微分同相写像で周期点の超指数的成長を達成できるか？
• RQ3 ホモクライン軌道のシグネチャーに関する条件——特に非零の非線形性および負のシュワーツィアン導関数——が指数的成長の上限を防ぐために必要であるか？
• RQ4 $C^2$-一般の超指数的成長を示すが $C^3$-では成長が有界となる例は、一般性結果における正則性閾値の鋭さをどのように示すか？

主な発見

• 安定な異次元的サイクルを有する系の近傍における $C^r$-一般の微分同相写像では、中心帰還写像に関する非線形性およびシュワーツィアン導関数の条件が満たされれば、周期点の数に超指数的成長が生じる。
• 中心方向における最初の帰還写像を小摂動によって $C^r$-平坦にすることにより、滑らかな中心foliationが存在しない場合でさえ、超指数的成長を引き起こすことが十分である。
• 例により、非線形性が消えるかシュワーツィアン導関数が非負であれば、成長率は常に指数的以下に留まることが示され、条件の必要性が裏付けられた。
• $C^2$-位相では超指数的成長が一般に成立するが、$C^3$-位相では同じ系が指数的成長に留まる可能性があるため、正則性閾値における急激な遷移が示された。
• 半群作用およびスケュー積に関する先行結果を、大スペクトルギャップや通常双曲的ファイブレーションを仮定しない一般の部分的双曲的微分同相写像にまで拡張した。
• 本稿は、中心力学に関する動的条件が満たされ、異次元的サイクルが存在する場合、超指数的成長が $C^r$-一般現象であることを確立した。