[論文レビュー] Fast Hankel Tensor-Vector Products and Application to Exponential Data Fitting

Weiyang Ding, Liqun Qi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2014

Tensor decomposition and applications参考文献 17被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、ハンケルテンソルをより大きなアンチ巡回テンソルに埋め込むことで、高速なハンケルテンソル-ベクトル積を実現するアルゴリズムを提案する。このアンチ巡回テンソルはフーリエ行列を用いて対角化可能であり、計算量は𝒪((m+1)dₕ log dₕ)に抑えられる。この手法により、ノイズ下でも高い精度で1次元および2次元の指数関数的データフィッティングが効率的に行える。

ABSTRACT

This paper is contributed to a fast algorithm for Hankel tensor-vector products. For this purpose, we first discuss a special class of Hankel tensors that can be diagonalized by the Fourier matrix, which is called \emph{anti-circulant} tensors. Then we obtain a fast algorithm for Hankel tensor-vector products by embedding a Hankel tensor into a larger anti-circulant tensor. The computational complexity is about $\mathcal{O}(m^2 n \log mn)$ for a square Hankel tensor of order $m$ and dimension $n$, and the numerical examples also show the efficiency of this scheme. Moreover, the block version for multi-level block Hankel tensors is discussed as well. Finally, we apply the fast algorithm to exponential data fitting and the block version to 2D exponential data fitting for higher performance.

研究の動機と目的

• 信号処理やデータフィッティングにおいて重要なハンケルテンソル-ベクトル積のための効率的でないアルゴリズムの欠如に応える。
• 直接法に比べて高コストとなるハンケルテンソル演算の高速計算スキームを構築する。
• テンソルベースのアプローチを用いて、1次元および2次元の高性能な指数関数的データフィッティングを実現する。
• 多次元データ構造を対象とするために、ブロックハンケルテンソルへの高速アルゴリズムの拡張を図る。
• 構造的テンソル近似のための高階特異値分解（HOSVD）に、高速テンソル-ベクトル積を統合する。

提案手法

• ハンケルテンソルをより大きなアンチ巡回テンソルに埋め込み、フーリエ行列による対角化の性質を活用する。
• アンチ巡回テンソルは周期的生成ベクトルを持ち、フーリエ行列によって対角化可能であり、これにより高速な乗算が可能となる。
• 高速フーリエ変換（FFT）を用いて、計算量𝒪((m+1)dₕ log dₕ)でテンソル-ベクトル積を計算する。ここでdₕはハンケルテンソルの自由度を表す。
• 低ランクテンソル近似のためのハイパーオルソゴナル反復（HOOI）フレームワークに、この高速アルゴリズムを適用し、指数関数的データフィッティングに応用する。
• 多次元のブロック構造を持つテンソルに同様の埋め込みとFFTベース戦略を適用することで、ブロックハンケルテンソル（BHHB）への拡張を実現する。
• 両側にノイズが存在する状況を考慮し、極の推定に全最小二乗法（total least squares）を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 直接法よりも効率的なハンケルテンソル-ベクトル積の計算が可能か？
• RQ2 フーリエ行列によって対角化可能なアンチ巡回テンソルを用いることで、ハンケルテンソル演算の高速化が図れるか？
• RQ3 提案された高速テンソル-ベクトル積アルゴリズムの計算量はどの程度か？
• RQ4 ノイズ下でも1次元および2次元の指数関数的データフィッティングにおいて、この高速アルゴリズムはどの程度有効か？
• RQ5 ブロック版の高速アルゴリズムは、多次元指数関数的データフィッティングの性能向上に寄与するか？

主な発見

• 提案された高速ハンケルテンソル-ベクトル積アルゴリズムは、𝒪((m+1)dₕ log dₕ)の計算量を達成し、直接計算に比べて著しくコストを削減する。
• 1次元指数関数的データフィッティングにおいて、最良のランク-(2,2,2)近似により、相対誤差がノイズレベルに達する極の回復が可能である。
• 2次元指数関数的データフィッティングでは、ノイズを含む状況下でも、ブロック版アルゴリズムが信号の2つの異なるピークを明確に分離できた。
• 数値実験では、ノイズのない状況下で構築されたBHHBテンソルのモード1特異値が、2つの主要な値に明確に分離され、残りは機械精度に近い値を示した。
• 極推定に全最小二乗法を用いることで、ノイズに対して高いロバスト性を確保し、ノイズレベルと同等の精度を維持した。
• 高速スキームは、ハンケルテンソル-ベクトル積を含む任意のアルゴリズムに統合可能であり、計算効率の向上が図れる。