[論文レビュー] Fast Iterative Solver for the Optimal Control of Time-Dependent PDEs with Crank-Nicolson Discretization in Time

Santolo Leveque, John W. Pearson|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Matrix Theory and Algorithms参考文献 47被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、Crank–Nicolson時間離散化を用いた時間依存PDE制約最適制御問題に対して、高速でロバストかつ最適なプリコンディショナ付き反復解法を提示する。鞍部問題を対称化する可逆変換を適用し、最適なスチェル補完近似を有する新規プリコンディショナを導出することで、メッシュサイズやパラメータに依存しない収束性を達成し、熱拡散および対流拡散制御問題の両方で有効である。

ABSTRACT

In this article, we derive a new, fast, and robust preconditioned iterative solution strategy for the all-at-once solution of optimal control problems with time-dependent PDEs as constraints, including the heat equation and the non-steady convection--diffusion equation. After applying an optimize-then-discretize approach, one is faced with continuous first-order optimality conditions consisting of a coupled system of PDEs. As opposed to most work in preconditioning the resulting discretized systems, where a (first-order accurate) backward Euler method is used for the discretization of the time derivative, we employ a (second-order accurate) Crank--Nicolson method in time. We apply a carefully tailored invertible transformation for symmetrizing the matrix, and then derive an optimal preconditioner for the saddle-point system obtained. The key components of this preconditioner are an accurate mass matrix approximation, a good approximation of the Schur complement, and an appropriate multigrid process to apply this latter approximation---these are constructed using our work in transforming the matrix system. We prove the optimality of the approximation of the Schur complement through bounds on the eigenvalues, and test our solver against a widely-used preconditioner for the linear system arising from a backward Euler discretization. These demonstrate the effectiveness and robustness of our solver with respect to mesh-sizes, regularization parameter, and diffusion coefficient.

研究の動機と目的

• 時間依存PDE制約最適化で生じる大規模な、一度に解く必要がある連立一次方程式の解法の課題に対処する。
• Crank–Nicolson離散化された系のプリコンディショニングにおける数値的困難さに起因する、後退オイラー法の対比に比べてより複雑な性質を克服する。
• メッシュサイズ、正則化パラメータ、拡散係数に依存しない収束性を保証するプリコンディショナを開発する。
• 固有値の境界を用いて、スチェル補完近似の最適性に関する理論的裏付けを提供する。
• ディリクレ境界条件を満たす熱拡散および対流拡散制御問題の両方において、解法の有効性を実証する。

提案手法

• 時間依存PDEの最適性条件を導出するために、最適化を先に離散化するアプローチを適用する。
• 時間方向にCrank–Nicolson離散化を用いることで、2次精度を達成し、同等の誤差を達成するための時間ステップ数を削減する。
• 得られた鞍部問題行列系を対称化するための可逆線形変換を適用し、MINRESの使用を可能にする。
• 鞍部問題理論に基づき、正確な質量行列近似と多重グリッド強化されたスチェル補完近似を用いた新規プリコンディショナを構築する。
• プリコンディショニングされた系の固有値に対する理論的境界を導出し、メッシュサイズ、正則化パラメータ、拡散係数に関して最適性を証明する。
• 収束耐性を $10^{-6}$ に設定したプリコンディショニングMINRESを用いて実装し、異なる空間メッシュサイズおよびパラメータ値でテストする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Crank–Nicolson離散化された時間依存PDE制約最適制御問題に対して、すべてのパラメータにわたってロバスト性を保つプリコンディショニング反復解法を設計できるか？
• RQ2 提案されたプリコンディショナは、メッシュサイズ、正則化パラメータ、拡散係数に依存しない収束性を保証するか？
• RQ3 プリコンディショナ内のスチェル補完近似は、固有値の境界を用いて最適性を証明できるか？
• RQ4 新しいCrank–Nicolsonベースの解法は、標準的な後退オイラー法ベースの解法と比較して、反復回数およびロバスト性の面で優れているか？
• RQ5 対称化変換は、得られた鞍部問題系に対して、MINRESのような対称反復解法の使用を有効にしているか？

主な発見

• 提案されたプリコンディショナは、すべてのテスト設定において最大27反復で収束を示し、メッシュサイズ、正則化パラメータ $\beta$、拡散係数 $\epsilon$ に依存しないロバスト性を確認した。
• $\beta = 10^{-5}$ または $10^{-6}$ の場合、スチェル補完が質量行列に固有値的に近づくため、反復回数が減少した。
• MINRESの反復回数は、空間メッシュサイズ $h$、正則化パラメータ $\beta$、拡散係数 $\epsilon$ に依存せず、パラメータロバスト性を裏付けた。
• 理論的固有値境界により、スチェル補完近似が最適であることが確認され、プリコンディショナが行列次元に対して線形にスケーリングされることを保証した。
• 数値結果から、新しい解法は広く用いられている後退オイラー法ベースのプリコンディショナーよりも反復回数の安定性およびロバスト性に優れていることが示された。
• 標準的手法がしばしば困難をきたす高Péclet数の対流拡散問題に対しても、本手法は高い効率を維持した。