[論文レビュー] Fast Marching Tree: a Fast Marching Sampling-Based Method for Optimal Motion Planning in Many Dimensions

Lucas Janson, Edward Schmerling+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2013

Robotic Path Planning Algorithms参考文献 33被引用数 19

ひとこと要約

この論文では、Fast Marching MethodsとRRT/PRM*の特徴を組み合わせることで、高次元空間においてより速い収束を達成する漸近的最適性を有するサンプリングベースの運動計画法FMT$^*$を提案する。確率的にサンプリングされた点に対して遅延型動的計画法の再帰を実行することで、FMT$^*$は収束速度 $O(n^{-1/d + \rho})$ を達成し、特に高次元空間および高価な衝突チェックを伴う状況では、PRM$^*$ や RRT$^*$ よりも解の質と計算時間の両面で優れている。

ABSTRACT

In this paper we present a novel probabilistic sampling-based motion planning algorithm called the Fast Marching Tree algorithm (FMT*). The algorithm is specifically aimed at solving complex motion planning problems in high-dimensional configuration spaces. This algorithm is proven to be asymptotically optimal and is shown to converge to an optimal solution faster than its state-of-the-art counterparts, chiefly PRM* and RRT*. The FMT* algorithm performs a "lazy" dynamic programming recursion on a predetermined number of probabilistically-drawn samples to grow a tree of paths, which moves steadily outward in cost-to-arrive space. As a departure from previous analysis approaches that are based on the notion of almost sure convergence, the FMT* algorithm is analyzed under the notion of convergence in probability: the extra mathematical flexibility of this approach allows for convergence rate bounds--the first in the field of optimal sampling-based motion planning. Specifically, for a certain selection of tuning parameters and configuration spaces, we obtain a convergence rate bound of order $O(n^{-1/d+ρ})$, where $n$ is the number of sampled points, $d$ is the dimension of the configuration space, and $ρ$ is an arbitrarily small constant. We go on to demonstrate asymptotic optimality for a number of variations on FMT*, namely when the configuration space is sampled non-uniformly, when the cost is not arc length, and when connections are made based on the number of nearest neighbors instead of a fixed connection radius. Numerical experiments over a range of dimensions and obstacle configurations confirm our theoretical and heuristic arguments by showing that FMT*, for a given execution time, returns substantially better solutions than either PRM* or RRT*, especially in high-dimensional configuration spaces and in scenarios where collision-checking is expensive.

研究の動機と目的

• PRM$^*$ や RRT$^*$ などの既存手法よりも速い収束を達成する、漸近的最適性を有するサンプリングベースの運動計画法の開発。
• RRTに似た1クエリごとのアプローチと、PRMに似た複数クエリ用の計画法の長所を統合したフレームワークにより、両者のギャップを埋める。
• ほとんど確実な収束ではなく、確率的収束を採用することで、最適なサンプリングベースの運動計画法における収束速度の境界を初めて導出可能にする。
• 非一様なサンプリング、一般化されたコスト関数、k近傍接続への拡張を提供し、複雑な計画シナリオへの適用範囲を広げる。
• 実験的に、FMT$^*$ は実行時間に制限がある状況でも、特に高次元空間および衝突チェックが高価な環境では、PRM$^*$ や RRT$^*$ よりもはるかに優れた解を提供することを確認した。

提案手法

• FMT$^*$ は、構成空間内の固定された確率的サンプル点の集合に対して、到着コスト空間におけるパスの木を成長させるために、遅延型の動的計画法の再帰を実行する。
• アルゴリズムは優先度キューを用い、到着コストが小さい順にノードを処理し、接続半径またはk近傍近傍を使用して各ノードを最低コストの実行可能近傍に接続する。
• 「遅延」評価戦略を採用し、パスの延長を検討する直前まで衝突チェックを延期することで、計算効率を向上させる。
• Eikonal方程式を解くFast Marching Methodにインspiredされ、構成空間全体にわたる到着コスト値の効率的伝搬を可能にする。
• 理論的分析は確率的収束に基づくものであり、これにより、先行研究がほとんど確実な収束に依存するのとは異なり、収束速度の境界を導出可能である。
• 非一様なサンプリング分布、一般化されたコスト関数（弧長以外のものも含む）、k近傍接続への拡張が提供され、アルゴリズムのロバストネスと適応性が向上する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サンプリングベースの運動計画法が、ほとんど確実な収束ではなく、証明可能な収束速度を有する漸近的最適性を達成できるか？
• RQ2 1クエリ型手法の効率性と、複数クエリ型手法のロードマップ構造を組み合わせることで、最適解への収束がより速くなるか？
• RQ3 最適なサンプリングベースの運動計画法において、収束速度の境界を厳密に導出可能か？その形はどのようなものか？
• RQ4 非一様なサンプリング分布および一般化されたコスト関数の下で、FMT$^*$ は標準的な定式化と比較してどのように性能を発揮するか？
• RQ5 FMT$^*$ のk近傍近傍バージョンは、相互k近傍近傍PRM$^*$グラフを上回る解の質を達成できるか？

主な発見

• FMT$^*$ は、非一様なサンプリングや一般化されたコスト関数を含む一般条件のもとで漸近的最適性を達成し、確率的収束に関する理論的保証を有する。
• アルゴリズムは収束速度 $O(n^{-1/d + \rho})$ を示し、$n$ はサンプル数、$d$ は構成空間の次元、$\rho > 0$ は任意に小さい値である。これは、最適なサンプリングベースの運動計画法における初の収束速度境界である。
• 所定の実行時間内では、FMT$^*$ は特に高次元空間および高価な衝突チェックを伴う状況で、PRM$^*$ や RRT$^*$ よりもはるかに優れた解を返す。
• FMT$^*$ のk近傍近傍バージョンは、より柔軟かつコストに配慮した接続により、相互k近傍近傍PRM$^*$ グラフよりも厳密に優れた解を返すことができる。
• 数値実験により、FMT$^*$ はPRM$^*$ や RRT$^*$ よりも最適解への収束がはるかに速く、次元が10以上で複雑な障害物配置がある環境では顕著な性能向上が確認された。
• 理論的分析により、k近傍近傍グラフの最大辺長が確率的に0に収束することが確認され、接続性と最適性を保証するレートを持つ。$n$ が大きいとき、$\mathbb{P}(\hat{e}_n^{\text{max}} > e_n) \leq n^{-16}$ が成り立ち、高い接続確率を示している。