[論文レビュー] Fast (Multi-)Evaluation of Linearly Recurrent Sequences: Improvements and Applications

Martin Ziegler|ArXiv.org|Nov 8, 2005

Numerical Methods and Algorithms参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、多項式の多点評価と高速行列演算を活用して、定数係数または多項式係数を持つ線形再帰列の評価を最適化するアルゴリズムを提示する。直交多項式の評価には均一な $Ó(\sqrt{n} \cdot \log n)$ の計算量が達成され、複数項の評価には $Ó(\sqrt{n} \cdot \log n + \ell \cdot \log(n/\ell))$ が達成される。応用例として、超幾何関数や高次多項式の係数計算が含まれる。

ABSTRACT

For a linearly recurrent vector sequence P[n+1] = A(n) * P[n], consider the problem of calculating either the n-th term P[n] or L<=n arbitrary terms P[n_1],...,P[n_L], both for the case of constant coefficients A(n)=A and for a matrix A(n) with entries polynomial in n. We improve and extend known algorithms for this problem and present new applications for it. Specifically it turns out that for instance * any family (p_n) of classical orthogonal polynomials admits evaluation at given x within O(n^{1/2} log n) operations INDEPENDENT of the family (p_n) under consideration. * For any L indices n_1,...,n_L <= n, the values p_{n_i}(x) can be calculated simultaneously using O(n^{1/2} log n + L log(n/L)) arithmetic operations; again this running time bound holds uniformly. * Every hypergeometric (or, more generally, holonomic) function admits approximate evaluation up to absolute error e>0 within O((log(1/e)^{1/2} loglog(1/e)) -- as opposed to O(log(1/e)) -- arithmetic steps. * Given m and a polynomial p of degree d over a field of characteristic zero, the coefficient of p^m to term X^n can be computed within O(d^2 M(n^{1/2})) steps where M(n) denotes the cost of multiplying two degree-n polynomials. * The same time bound holds for the joint calculation of any L<=n^{1/2} desired coefficients of p^m to terms X^{n_i}, n_1,...,n_L <= n.

研究の動機と目的

• 定数係数または多項式係数を持つ線形再帰列の評価に向けた既存のアルゴリズムの改善および一般化を図ること。
• 任意のインデックスにおける複数項の評価を、近似的に最適な時間計算量で効率的に行えるようにすること。
• 改善されたアルゴリズムを、直交多項式の評価や高次多項式からの係数抽出といった記号計算の基本的問題に応用すること。
• ホロノミック関数や超幾何関数を含むさまざまな系列クラスに対して、一様な計算量の上限を確立すること。
• 新しいアルゴリズムが古典的手法を一般化しつつ定数倍のオーバーヘッドしか生じないことを示し、漸近的最適性を保つこと。

提案手法

• 高速多項式多点評価と高速フーリエ変換を用いて、線形再帰列の評価コストを低減する。
• 行列のべき乗と繰り返し二乗法を応用し、定数係数再帰列の高インデックス項を $Ó(k^3 \cdot \log n)$ 回の演算で計算する。
• 同伴行列の構造に基づく分割統治戦略を用いて、非連続な複数項を同時に計算する。
• 有理関数の演算とクラメルの定理を用いて、ホロノミック系列の和および積における再帰係数の次数の上限を分析する。
• 直交多項式の評価問題を多項式係数を持つ線形再帰に還元することで、一様な計算量の上限を達成する。
• 多項式行列の逆行列の各成分が有理関数として次数が有界であるという事実を活用し、系列の和および積の再帰関係を効率的に計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高度な代数的技法を用いて、線形再帰列の $n$ 番目の項の評価を $\mathcal{O}(n)$ より速く行うことは可能か？
• RQ2 線形再帰列の $\ell$ 個の非連続な項の評価における最適な計算量は何か？ また、これは異なる系列タイプにわたって一様に達成可能か？
• RQ3 一様な計算量の上限を保ちながら、再帰に基づく手法を用いて古典的直交多項式の評価をどのように高速化できるか？
• RQ4 例えば $p^m$ のような高次多項式の特定の係数の計算は、出力に依存する計算量で行えるか？
• RQ5 多項式係数を持つホロノミック系列の和および積を記述する再帰関係の次数と計算量の上限は何か？

主な発見

• 任意の古典的直交多項式族の $n$ 番目の項は、与えられた $x$ に対して $\mathcal{O}(\sqrt{n} \cdot \log n)$ 回の算術演算で評価可能であり、多項式族の種別に依存しない。
• $n_i \leq n$ を満たす任意の $\ell$ 個の項 $p_{n_i}(x)$ の同時評価は、すべての直交多項式族にわたって一様に $\mathcal{O}(\sqrt{n} \cdot \log n + \ell \cdot \log(n/\ell))$ 回の算術演算で行える。
• 絶対誤差 $\epsilon > 0$ 以内の超幾何（またはホロノミック）関数の近似評価には $\mathcal{O}(\sqrt{\log(1/\epsilon)} \cdot \log\log(1/\epsilon))$ 回の算術ステップで十分であり、古典的 $\mathcal{O}(\log(1/\epsilon))$ の上限を改善する。
• $p$ を次数 $d$ の多項式とするとき、$p^m$ における $X^n$ の係数は $\mathcal{O}(d^2 \cdot M(\sqrt{n}))$ ステップで計算可能であり、$M(n)$ は多項式乗算のコストを表す。
• $\ell \leq \sqrt{n}$ 個の係数を指定された次数 $n_i \leq n$ で同時に計算する場合、$\mathcal{O}(d^2 \cdot M(\sqrt{n}))$ ステップで実行可能であり、単一係数の計算量と一致する。
• 多項式係数の次数が $d$ の二つのホロノミック系列の和および積は、それぞれ深さが高々 $k + \ell$、$k \cdot \ell$ の再帰関係を持つ。有理係数の次数はそれぞれ $\mathcal{O}(d(k + \ell)^2)$ および $\mathcal{O}(d k^2 \ell^2)$ である。