[論文レビュー] Fast Multidimensional Asymptotic and Approximate Consensus

Matthias Függer, Thomas Nowak+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2016

Distributed Control Multi-Agent Systems参考文献 16被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、時間変動する有向ネットワークにおける漸近的コンセンサスを達成する2つの新しい多次元コンセンサスアルゴリズム—ExtremePointおよびCentroid—を提案する。値に依存する重みと、エージェント数に依存しない成分ごとの収縮率を用いることで、線形収束時間を実現し、これが最適である。Centroidアルゴリズムは座標フリーの動作と、弱い双方向接続性仮定の下でのコンセンサスを達成する。

ABSTRACT

We study the problem of asymptotic consensus as it occurs in a wide range of applications in both man-made and natural systems. In particular, we study systems with directed communication graphs that may change over time. We recently proposed a new family of convex combination algorithms in dimension one whose weights depend on the received values and not only on the communication topology. Here, we extend this approach to arbitrarily high dimensions by introducing two new algorithms: the ExtremePoint and the Centroid algorithm. Contrary to classical convex combination algorithms, both have component-wise contraction rates that are constant in the number of agents. Paired with a speed-up technique for convex combination algorithms, we get a convergence time linear in the number of agents, which is optimal. Besides their respective contraction rates, the two algorithms differ in the fact that the Centroid algorithm's update rule is independent of any coordinate system while the ExtremePoint algorithm implicitly assumes a common agreed-upon coordinate system among agents. The latter assumption may be realistic in some man-made multi-agent systems but is highly questionable in systems designed for the modelization of natural phenomena. Finally we prove that our new algorithms also achieve asymptotic consensus under very weak connectivity assumptions, provided that agent interactions are bidirectional.

研究の動機と目的

• 時間変動する有向通信グラフを持つ動的ネットワークにおいて、高速かつ漸近的コンセンサスを達成する課題に対処すること。
• 従来、最適な収縮率を示すことが示された1次元の凸結合アルゴリズムを、任意の次元へ拡張すること。
• エージェント数に依存しない成分ごとの収縮率を持つアルゴリズムを設計することで、最適な線形収束時間を実現すること。
• 双方向通信が無限回発生する場合に、弱い接続性仮定の下でも収束を保証することで、耐障害性を確保すること。
• 自然系のモデル化に適した座標フリーのアルゴリズム（Centroid）を設計し、同時に強い収束保証を維持すること。

提案手法

• 値に依存する重みを用い、共通の座標系を仮定するExtremePointアルゴリズムを提案し、成分ごとの収縮率が$1 - \frac{1}{2d}$に達することを示す。
• 座標フリーな変種としてCentroidアルゴリズムを導入し、成分ごとの収縮率が$1 - \frac{1}{d+1}$に達することを示す。解析にはスティーナー型の対称化とブラウン＝ミンコフスキーの不等式を用いる。
• 凸結合アルゴリズムにアモアタイゼーション（高速化）技術を適用し、非最適な収束をエージェント数に線形な時間に変換する。
• α-安全性を定義・証明し、エージェントが近隣の凸包の安全マージン内に留まることを保証する。これは収束保証の根幹をなす。
• 双方向通信の下で無限積の確率的行列に関するモレウの定理を応用し、弱い接続性仮定の下での収束を証明する。
• 各成分ごとにブロック対角の確率的行列表現を用い、成分ごとのダイナミクスをモデル化し、定理12を適用してコンセンサスを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最適な1次元コンセンサスアルゴリズムを、エージェント数に依存しない高速収束を保ちつつ、任意の次元へ一般化できるか？
• RQ2 高次元における値に依存する凸結合アルゴリズムの成分ごとの収縮率は何か？また、エージェント数にどのように依存するか？
• RQ3 共有座標系に依存しない座標フリーなコンセンサスアルゴリズムを設計でき、強力な収束保証を維持できるか？
• RQ4 動的で有向なネットワークにおいて、双方向通信が行われる弱い接続性仮定の下で、コンセンサスが依然として成立する条件は何か？
• RQ5 多次元アルゴリズムにおけるα-安全性を形式的に確立できるか？その証明を支える幾何学的ツールは何か？

主な発見

• ExtremePointアルゴリズムは、エージェント数に依存しない成分ごとの収縮率$1 - \frac{1}{2d}$を達成する。
• Centroidアルゴリズムは、エージェント数に依存しない成分ごとの収縮率$1 - \frac{1}{d+1}$を達成し、共有座標系を必要としない。
• 高速化技術を組み合わせることで、両アルゴリズムともエージェント数に線形な収束時間を達成し、これが最適である。
• Centroidアルゴリズムは、双方向通信が無限回発生し、無限交差グラフが強連結である限り、弱い接続性仮定の下でも収束を維持する。
• Centroidアルゴリズムのα-安全性の証明は、スティーナー型の対称化とブラウン＝ミンコフスキーの不等式に依存しており、独立した幾何学的関心を持つ結果である。
• ExtremePoint、Centroid、および1次元のMidPointの3つのアルゴリズムは、すべて同じ弱い双方向接続性条件下で漸近的コンセンサスに到達する。これは、成分ごとの確率的行列にモレウの定理を適用することで保証される。