[論文レビュー] Fast Parallel Fixed-Parameter Algorithms via Color Coding

Max Bannach, Christoph Stockhusen+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 4被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、色割当てを用いた高速な並列固定パrameterアルゴリズムを設計するためのフレームワークを導入し、頂点被覆、グラフパッキング、クラスタ編集、頂点分離など、多数のNP困難なグラフ問題が、パrameterにのみ依存する時間または定数時間の並列時間で解けることを示している。作業複雑度は逐次FPTアルゴリズムと一致する。主な貢献は、これらの問題をパrameter化されたAC⁰のクラスに位置づけることで、固定パrameter可解問題における極めて効率的な並列計算の理論的妥当性を示している。

ABSTRACT

Fixed-parameter algorithms have been successfully applied to solve numerous difficult problems within acceptable time bounds on large inputs. However, most fixed-parameter algorithms are inherently \emph{sequential} and, thus, make no use of the parallel hardware present in modern computers. We show that parallel fixed-parameter algorithms do not only exist for numerous parameterized problems from the literature -- including vertex cover, packing problems, cluster editing, cutting vertices, finding embeddings, or finding matchings -- but that there are parallel algorithms working in \emph{constant} time or at least in time \emph{depending only on the parameter} (and not on the size of the input) for these problems. Phrased in terms of complexity classes, we place numerous natural parameterized problems in parameterized versions of AC$^0$. On a more technical level, we show how the \emph{color coding} method can be implemented in constant time and apply it to embedding problems for graphs of bounded tree-width or tree-depth and to model checking first-order formulas in graphs of bounded degree.

研究の動機と目的

• 従来の固定パrameterアルゴリズムが本質的に逐次的であり、現代のマルチコアハードウェアを十分に活用できないという点を是正すること。
• 頂点被覆、グラフパッキング、クラスタ編集といったパラメータ計算複雑性における基本的問題に対して、並列固定パrameterアルゴリズムが存在することを示すこと。
• これらのアルゴリズムが、入力サイズに依存しない定数時間（またはパrameterにのみ依存する時間）で実行可能であり、かつFPT作業複雑度を維持できることを示すこと。
• 色割当てと構造的グラフ性質を活用することで、パラメータ計算複雑性における効率的並列計算の理論的基盤を確立すること。
• 一階論理のモデルチェックなど、アルゴリズム的メタ定理を、パrameter依存の実行時間を持つ並列設定に拡張すること。

提案手法

• 中心的な技術として色割当てを採用し、ユニバーサルな色の族が定数時間で計算可能であることを活用し、解候補の効率的な確率的選択を可能にする。
• パッキング、被覆、分離問題を、木幅または木深さが有界なグラフへの埋め込み問題に還元し、それらを色割当てで解く。
• FlumとGroheのモデルチェックメタ定理の並列版を適用し、有界次数のグラフにおいて一階論理的性質がpara-AC⁰時間で検査可能であることを示す。
• コンcurrent-read, concurrent-write PRAMモデルを用いて、定数時間の並列アルゴリズムを達成し、作業量がf(k)·n^cで抑えられ、逐次FPT作業量と一致することを保証する。
• グラフのパラメータ化された構造的性質に焦点を当てることで、入力サイズnではなくパrameter kまたはℓにのみ依存するアルゴリズムを設計する。
• パラメータ依存の作業量で定数時間に解ける問題を捉えるために、AC⁰階層をパラメータ計算に拡張した新しい複雑度クラスpara-AC⁰↑を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定パrameter可解問題は、FPT作業量のみを用いて定数時間の並列時間で解けるか？
• RQ2 並列設定において、色割当てを定数時間で実装できるか？ これにより高速なパラメータ依存アルゴリズムが可能になるか？
• RQ3 自然なパラメータ化グラフ問題のうち、頂点被覆やグラフパッキングといった問題がpara-AC⁰またはpara-AC⁰↑に属するか？ これは高い並列性を示唆する。
• RQ4 一階論理のモデルチェックのようなアルゴリズム的メタ定理は、並列パラメータ計算設定に適応可能か？
• RQ5 頂点被覆、グラフパッキング、頂点分離といった問題は、入力サイズに依存しない実行時間の並列アルゴリズムを備えているか？

主な発見

• 頂点被覆問題は、PRAMモデルにおいてFPT作業量を伴う定数時間の並列アルゴリズムを有し、para-AC⁰に属する。
• 三角形パッキングや、固定サイズのグラフに対するより一般的なグラフパッキング問題は、非誘導部分グラフであっても、FPT作業量で定数時間で解ける。
• ℓ個の連結頂点を切り離す問題（p_k,ℓ-cutting-ℓ-connected-vertices）はpara-AC⁰↑に属し、パrameter依存の作業量で定数時間に解ける。
• 高々ℓ個の頂点を切り離す問題（p_k,ℓ-cutting-at-most-ℓ-vertices）もpara-AC⁰↑に属し、色割当てに基づくアルゴリズムにより定数時間で動作する。
• 有界次数のグラフにおける一階論理のモデルチェックは、入力サイズに依存せず、公式の局所的ランクにのみ依存するpara-AC⁰時間で実行可能である。
• 本論文は、クラスタ編集、頂点削除、埋め込みといった多数の自然なパラメータ化問題がpara-AC⁰またはpara-AC⁰↑に属することを確立し、それらの理論的並列性を示している。