[論文レビュー] Fast Phase Retrieval from Local Correlation Measurements

Mark Iwen, Aditya Viswanathan+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2015

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 48被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、$\mathbb{C}^d$ 内の複素信号 ${\bf x}$ を、$\mathcal{O}(d\log^4 d)$ 時間で、局所相関に基づく振幅測定値から、グローバル位相を除き、高速かつ決定論的に復元するアルゴリズムを提示する。局所位相差のためのリフトされた線形系と、位相の同期化を用いて全信号の位相を回復する。スパース信号のための部分線形時間拡張では、$\mathcal{O}(s\log^4 s \cdot \log d)$ 測定値を用いる。

ABSTRACT

We develop a fast phase retrieval method which can utilize a large class of local phaseless correlation-based measurements in order to recover a given signal ${\bf x} \in \mathbb{C}^d$ (up to an unknown global phase) in near-linear $\mathcal{O} \left( d \log^4 d ight)$-time. Accompanying theoretical analysis proves that the proposed algorithm is guaranteed to deterministically recover all signals ${\bf x}$ satisfying a natural flatness (i.e., non-sparsity) condition for a particular choice of deterministic correlation-based measurements. A randomized version of these same measurements is then shown to provide nonuniform probabilistic recovery guarantees for arbitrary signals ${\bf x} \in \mathbb{C}^d$. Numerical experiments demonstrate the method's speed, accuracy, and robustness in practice -- all code is made publicly available. Finally, we conclude by developing an extension of the proposed method to the sparse phase retrieval problem; specifically, we demonstrate a sublinear-time compressive phase retrieval algorithm which is guaranteed to recover a given $s$-sparse vector ${\bf x} \in \mathbb{C}^d$ with high probability in just $\mathcal{O}(s \log^5 s \cdot \log d)$-time using only $\mathcal{O}(s \log^4 s \cdot \log d)$ magnitude measurements. In doing so we demonstrate the existence of compressive phase retrieval algorithms with near-optimal linear-in-sparsity runtime complexities.

研究の動機と目的

• 局所相関測定値からの信号の計算効率の良い位相再構成手法の開発。
• 新規のリフトと位相同期フレームワークを用いて、非スパース（平坦）信号の決定論的回復保証の提供。
• スパース信号のための圧縮位相再構成への拡張を、部分線形実行時間複雑度で実現。
• 理論的解析と数値的検証を通じて、ノイズ下でのロバスト性と正確性を確保。
• 公開利用可能なコードと効率的アルゴリズムにより、実用的導入を可能に。

提案手法

• $|j-i| < \delta$ の範囲で $x_i \overline{x_j}$ を含む線形系に二次的振幅測定値をリフトし、サイズ $(2\delta-1)d$ のブロック構造系を形成。
• $\mathcal{O}(\delta d)$ の局所相関測定値を用いて、高速ソルバーによりリフトされた系を効率的に解く。
• 局所位相差を信号ベクトル全体にわたって伝搬させるために位相同期を適用。
• 回復された振幅 $|x_j|$ と位相を組み合わせ、元の信号 $\bf x$ を再構成。
• 圧縮センシングと提案された位相再構成フレームワークを組み合わせることで、スパース信号への拡張を実現。
• 確率的回復保証を達成するための確率的測定設計を採用。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所相関測定値のみを用いて、近線形時間で位相再構成が可能か？
• RQ2 平坦信号の決定論的回復に対して、局所相関データからの理論的保証をどのように確立できるか？
• RQ3 本手法を、スパース信号のための部分線形実行時間複雑度を持つ圧縮位相再構成に拡張可能か？
• RQ4 アルゴリズムはノイズに対してどれほどロバストか？また、どのような誤差境界を導出できるか？
• RQ5 局所位相差からグローバル位相を安定的かつ効率的に回復するために、位相同期が有効に機能するか？

主な発見

• アルゴリズムは、平坦性条件を満たすすべての $d$ 次元信号を、$\mathcal{O}(d\log^4 d)$ 時間で決定論的に回復する。
• 確率的バージョンは、任意の信号 ${\bf x} \in \mathbb{C}^d$ に対して非一様な確率的回復保証を提供する。
• スパース信号 $s$ に対しては、$\mathcal{O}(s\log^5 s \cdot \log d)$ 時間で回復が可能であり、$\mathcal{O}(s\log^4 s \cdot \log d)$ 個の振幅測定値を用いる。
• ノイズに対してロバストであり、数値実験では高い正確性と高速性を示した。
• 理論的解析により、周期的境界仮定下でリフトされた行列が適切に条件付けられていることが確認された。
• 本フレームワークにより、pTYCHOGRAPHIC 位相再構成問題に対する、初めての知られているグローバルなロバスト回復保証が可能になった。