[論文レビュー] Fast polynomial evaluation and composition

Guillaume Moroz|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2013

Polynomial and algebraic computation参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、Sage用のfast_polynomialライブラリにおいて、多変数多項式の評価を高速化するための新しいバランス型分割統治評価方式を導入している。この方式は、遅延高さ（lazy height）を最小限に抑え、2のべき乗における性能ボトルネックを解消することで、評価性能を最適化する。テンプレートベースの汎用プログラミング、OpenMPを用いたマルチスレーディング、および事前計算された高速累乗を統合し、Flintのような最先端のライブラリと同等の性能を達成している。

ABSTRACT

The library \\emph{fast\\_polynomial} for Sage compiles multivariate polynomials for subsequent fast evaluation. Several evaluation schemes are handled, such as H\\"orner, divide and conquer and new ones can be added easily. Notably, a new scheme is introduced that improves the classical divide and conquer scheme when the number of terms is not a pure power of two. Natively, the library handles polynomials over gmp big integers, boost intervals, python numeric types. And any type that supports addition and multiplication can extend the library thanks to the template design. Finally, the code is parallelized for the divide and conquer schemes, and memory allocation is localized and optimized for the different evaluation schemes. This extended abstract presents the concepts behind the \\emph{fast\\_polynomial} library. The sage package can be downloaded at \\url{http://trac.sagemath.org/sage_trac/ticket/13358}.

研究の動機と目的

• 2のべき乗における古典的な分割統治多項式評価の性能低下を是正すること。
• ホーナー法やエストリン法といった既存の評価方式を、単一の関数スキーム抽象化によって統合・拡張すること。
• 評価木における遅延高さという概念を導入することで、評価中のメモリ使用量を最小限に抑えること。
• テンプレート特化を用いて、任意の数値型に対して効率的で汎用的かつ並列化可能な多項式評価を可能にすること。
• Flintのような低レベル最適化ライブラリと競合可能な高性能で拡張性のある多項式評価ライブラリを提供すること。

提案手法

• 評価木構造は、関数スキーム f(k) = ⌊k/2⌋ を用いて再帰的に多項式を分解し、バランス型分割統治戦略を定義する。
• 遅延高さは再帰的に計算され、ノードに2つ以上の子が存在する場合にのみ増加するため、対数的メモリ使用量が保証される。
• C++テンプレートを用いて、加法および乗法をサポートする任意の数値型をサポートし、拡張性を実現する。
• OpenMPディレクティブを用いて、分割統治スキームにおける部分木の評価を並列化する。
• 累乗 x^d は高速累乗を用いて事前計算され、評価中の重複乗算を削減する。
• 関数スキーム抽象化により、低次多項式ではホーナー法に切り替えるなど、異なる戦略のシームレスな統合が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的なエストリン方式に見られる2のべき乗における性能低下を、新たな分割統治評価方式が解消できるか？
• RQ2 多項式評価中の一時的ストレージおよびメモリ割り当てを最小限に抑えるために、評価木構造をどのように最適化できるか？
• RQ3 テンプレートベースのC++ライブラリが、Flintのような手動最適化された低レベルライブラリと同等の性能を達成できるか、その程度は？
• RQ4 OpenMPによる並列化が、複数コア上で大規模な多項式の評価速度を顕著に向上させられるか？
• RQ5 遅延高さ指標は、従来の木の高さと比較して、メモリ効率性と計算オーバーヘッドの面でどのように差がつくか？

主な発見

• バランス型分割統治方式により、古典的なエストリン方式が抱える2のべき乗における評価時間の段差（staircase effect）が解消された。
• すべての方式において最大遅延高さは項数の対数的であるため、O(log n)の一時的ストレージが保証される。
• ホーナー方式の遅延高さは0である一方、直接法、エストリン法、バランス型方式はそれぞれ最大遅延高さ1を示す。
• ライブラリの性能は、特に2スレッドを用いたバランス型方式において、大規模整数評価においてFlintライブラリと同等またはそれを上回る。
• 高速累乗による累乗の事前計算により、重複乗算が削減され、特に対数的個数の異なる次数を持つエストリンおよびバランス型方式で顕著に効果を発揮する。
• テンプレートベースの設計により、GMP整数、Boost区間、Pythonの数値型など、新しい数値型への容易な拡張が可能になった。