[論文レビュー] Fast property testing and metrics for permutations

Jacob Fox, Fan Wei|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、長方形距離測度下での遺伝的置換性質の両側性プロパティテストについて、多項式的クエリ複雑性の上限を確立し、$1/\epsilon$ の多項式関数としてのクエリ複雑性が得られることを示している。これは、従来のタワー型の上限に比べて顕著な改善である。さらに、ケンダールのtauなどの関連する距離測度が、テストの文脈において長方形距離と同等であることが示され、複数の置換距離測度にわたり同様の上限が適用可能になることが明らかになった。

ABSTRACT

The goal of property testing is to quickly distinguish between objects which satisfy a property and objects that are $ε$-far from satisfying the property. There are now several general results in this area which show that natural properties of combinatorial objects can be tested with "constant" query complexity, depending only on $ε$ and the property, and not on the size of the object being tested. The upper bound on the query complexity coming from the proof techniques are often enormous and impractical. It remains a major open problem if better bounds hold. Maybe surprisingly, for testing with respect to the rectangular distance, we prove there is a universal (not depending on the property), polynomial in $1/ε$ query complexity bound for two-sided testing hereditary properties of sufficiently large permutations. We further give a nearly linear bound with respect to a closely related metric which also depends on the smallest forbidden subpermutation for the property. Finally, we show that several different permutation metrics of interest are related to the rectangular distance, yielding similar results for testing with respect to these metrics.

研究の動機と目的

• 置換のプロパティテストにおけるより良いクエリ複雑性の上限が存在するかどうかという、主要な未解決問題に取り組むこと。
• 長方形距離測度下での遺伝的置換性質の両側性テストに対して、$1/\epsilon$ に依存する普遍的な多項式的上限を確立すること。
• 異なる置換距離測度（例：ケンダールのtau）を長方形距離と関連づけ、プロパティテストの文脈で同等であることを示すこと。
• 性質の最小の禁止部分置換に依存するほぼ線形のクエリ複雑性の上限を提供すること。
• 置換のプロパティテストにおける部分時間のテストが、非現実的に大きな上限ではなく、実用的で多項式的であるクエリ複雑性を達成できることを示すこと。

提案手法

• 著者らは、入力置換から一様にランダムにサブ置換 $M'$ を抽出する修正された両側性テスト器を用いる。
• 抽出されたサブ置換に対して、パラメータ $\epsilon/2$ を用いた既知の両側性テスト器（Tester 1）を適用し、性質 $\mathcal{P}$ への属性を評価する。
• プロパティの遺伝的性質と既知の部分置換抽出に関する結果を活用して、誤検出確率の上限を導出する。
• 確率論的議論と、dyadic正方形における置換点集合の幾何的解析を組み合わせることで、異なるスケールにおけるサンプル点へのマッピング点数を制御する。
• サンプル点とアクティブ／フローズン領域の相対的スケールに基づく3つのケースを分析し、各スケールあたりの点数を $56\delta_3 n$ 以内に制限する。
• 最終的に、サブ置換 $B_j$ のサイズに対する上限が $|B_j| \leq 56\log(2/d')\delta_3 n$ として導出され、全体としての多項式的クエリ複雑性が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長方形距離測度下での遺伝的置換性質の両側性テストは、置換サイズに依存しない $1/\epsilon$ の多項式的クエリ複雑性で達成可能か？
• RQ2 特に長方形距離とケンダールのtauの間で、異なる置換距離測度はプロパティテストにおいてどのように関連しているか？
• RQ3 性質の最小の禁止部分置換に依存するほぼ線形のクエリ複雑性の上限は存在するか？
• RQ4 正則性補題に基づく手法がもたらす非現実的で大きなタワー型の上限は、置換性質テストの文脈で多項式的上限に置き換え可能か？
• RQ5 置換点集合における幾何的構造とプロパティテストのクエリ複雑性の間にはどのような関係があるか？

主な発見

• 長方形距離測度下での遺伝的置換性質の両側性テストに対して、性質に依存しない普遍的な多項式的クエリ複雑性上限 $O(\epsilon^{-c})$ が確立された。
• この上限が、性質の最小の禁止部分置換に依存する場合、$1/\epsilon$ に対してほぼ線形のクエリ複雑性であることが示された。
• 長方形距離がケンダールのtauなどの他の距離測度とプロパティテストの文脈で同等であることが示され、複数の距離測度にわたり同様の上限が適用可能であることが明らかになった。
• 証明手法は強正則性補題を回避しており、その結果、タワー型の上限を避けて現実的で多項式的な上限が得られた。
• dyadicスケールにわたるサンプル点へのマッピング点数を制御することで、テストに使用するサブ置換のサイズに対する総合的な上限 $56\log(2/d')\delta_3 n$ が得られた。
• この結果は、遺伝的置換性質の片側性テストが多項式的クエリ複雑性で達成可能であることを示唆しており、従来の非構成的または非現実的な上限に依存する結果を改善している。