[論文レビュー] Fast Quantum Algorithm for Solving Multivariate Quadratic Equations

Jean‐Charles Faugère, Kelsey Horan+4 more|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2017

Polynomial and algebraic computation参考文献 32被引用数 22

ひとこと要約

この論文は、強い半正則性仮定の下で、$ m = n $ 個のブール多変数二次方程式（MQ₂）を $ O(2^{0.462n}) $ 個の量子ゲートで解くラスベガス型量子アルゴリズムを提示する。グローバーのアモニチュード増幅と、グレブナー基底技術に基づく量子整合性チェックオラクルを組み合わせることで、古典的手法よりも準二次的スピードアップを達成し、この構造的問題に対して標準的なグローバー探索の $ O(2^{n/2}) $ の上限を超える。

ABSTRACT

In August 2015 the cryptographic world was shaken by a sudden and surprising announcement by the US National Security Agency NSA concerning plans to transition to post-quantum algorithms. Since this announcement post-quantum cryptography has become a topic of primary interest for several standardization bodies. The transition from the currently deployed public-key algorithms to post-quantum algorithms has been found to be challenging in many aspects. In particular the problem of evaluating the quantum-bit security of such post-quantum cryptosystems remains vastly open. Of course this question is of primarily concern in the process of standardizing the post-quantum cryptosystems. In this paper we consider the quantum security of the problem of solving a system of {\it $m$ Boolean multivariate quadratic equations in $n$ variables} (\MQb); a central problem in post-quantum cryptography. When $n=m$, under a natural algebraic assumption, we present a Las-Vegas quantum algorithm solving \MQb{} that requires the evaluation of, on average, $O(2^{0.462n})$ quantum gates. To our knowledge this is the fastest algorithm for solving \MQb{}.

研究の動機と目的

• MQ₂の量子複雑度の $ O(2^{n/2}) $ の境界を超える量子アルゴリズムの開発。MQ₂は後量子暗号における中心的問題である。
• 明確で効率的な量子攻撃モデルを提供することで、多変数暗号方式の量子ビットセキュリティを評価すること。
• 一般量子探索の限界を乗り越えるために、MQ₂システム内の代数的構造を活用し、量子整合性チェックを用いること。
• 量子増幅されたグレブナー基底技術を統合することで、グローバーのアルゴリズムを上回る量子スピードアップを実証すること。
• 強い半正則性などの現実的な代数的仮定の下で、MQ₂を解くための実用的な量子複雑度推定を提供すること。

提案手法

• アルゴリズムは、グローバーの方法にインspiredされたアモニチュード増幅を用い、変数の部分集合から生成された不整合なマカウレー行列を探索する。
• 部分集合の $ k = (1 - \gamma)n $ 個の変数から導かれるシステムの整合性をチェックする量子オラクル $ \mathcal{QBS} $ を構築する。この際、システムの構造を活用する。
• 整合性チェックは、マカウレー行列を評価し、システムに解がないかを判断する量子回路によって実装され、ブラックボックスモデルを用いる。
• アルゴリズムは、グローバーの拡散演算子を用いて、不整合な構成の振幅を増幅し、問題のある変数割り当てを効率的に同定する。
• 不整合な部分割り当てを特定した後、残りの $ n - k $ 個の変数について、グローバーのアルゴリズムを用いて最終的な全探索を実行する。
• パrameter $ \gamma $ を最適化することで、整合性チェックの数と残りの探索空間のサイズのトレードオフを制御し、全体の複雑度を最小化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 MQ₂を解く量子アルゴリズムは、グローバーのアルゴリズムの $ O(2^{n/2}) $ の境界を超えるスピードアップを達成できるか？
• RQ2 システムが強い半正則性を示す場合、MQ₂を解く量子複雑度はいかほどか？
• RQ3 グレブナー基底技術に基づく量子整合性チェックは、重ね合わせ状態で効率的に実装可能か？
• RQ4 アモニチュード増幅とMQ₂システム内の代数的構造の組み合わせが、漸近的量子複雑度に与える影響は？
• RQ5 量子アルゴリズムは、多項式近似に基づくような古典的近似アルゴリズムをどの程度凌駆できるか？

主な発見

• 提案されたラスベガス型量子アルゴリズムは、システムが 0.17--strong 半正則性を満たす場合、MQ₂を解く期待ゲート複雑度 $ O(2^{0.462n}) $ を達成する。
• これは、MQ₂に対して最良の既存古典的アルゴリズムの古典的複雑度 $ O(2^{0.396n}) $ よりも顕著な改善を示す。
• 一般量子探索の $ O(2^{n/2}) $ の境界を上回り、構造的問題がスーパー・グローバーのスピードアップを可能にすることを示している。
• 量子整合性チェックオラクル $ \mathcal{QBS} $ は、重ね合わせ状態で実装可能であることが示され、部分割り当て上の効率的アモニチュード増幅を可能にする。
• 分析により、残りの変数に対する最終的な全探索のコストは、整合性チェックのコストに比べて無視できるほど小さいことが判明した。
• 数値最適化により、0.17-strong 半正則性の仮定の下で、$ \theta = 2 $ かつ $ \gamma = 0.17 $ のとき、量子ゲート数の最小指数 0.462 を得た。